Chia sẻ 1,000 VNĐ
Tài liệu TÍCH PHÂN (Phương pháp & Bài tập có lời giải )
Tài liệu này có phí 1,000 VNĐ

bạn cần mua tài liệu để được xem đầy đủ nội dung

Tài liệu này có thể xem trước 1 trang

/20 trang
Thành viên idoc2012

TÍCH PHÂN (Phương pháp & Bài tập có lời giải )

- 12 tháng trước
29,859
Báo lỗi

Đây là tài liệu giải tích 12 bao gồm Lý thuyết - Phương pháp - Bài tập Tích phân có lời giải chi tiết gửi đến các bạn học sinh tham khảo.

Nội dung
Microsoft Word - BT_Tichphan_Coloigiai.doc

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

http://www.anhlevan.tk 1

anh leâ vaên

TÍCH PHÂN A. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

1. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ ];a b . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì:

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) b

b

a a

f x dx F x F b F a= = −∫ ( Công thức NewTon - Leiptnitz)

2. Các tính chất của tích phân:

• Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : ( ) 0 a

a

f x dx =∫

• Tính chất 2: ( ) ( ) b a

a b

f x dx f x dx= −∫ ∫

• Tính chất 3: Với c là hằng số thì ( ) b

a

cdx c b a= −∫

• Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên [ ];a b và ( ) 0f x ≥ thì ( ) 0 b

a

f x dx ≥∫

• Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ];a b và ( ) ( ) , x a;bf x g x  ≥ ∀ ∈ 

Thì ( ) ( ) b b

a a

f x dx g x dx≥∫ ∫

• Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên [ ];a b và ( ) ( m,M laø hai haèng soá)m f x M≤ ≤ thì

( ) ( ) ( ) b

a

m b a f x dx M b a− ≤ ≤ −∫

• Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ];a b thì

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫

• Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ];a b và k là một hằng số thì

. ( ) . ( ) b b

a a

k f x dx k f x dx=∫ ∫

• Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ];a b và c là một hằng số thì

( ) ( ) ( ) b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

• Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên [ ];a b cho trước không phụ thuộc vào biến số ,

nghĩa là : ( ) ( ) ( ) ... b b b

a a a

f x dx f t dt f u du= = =∫ ∫ ∫

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

http://www.anhlevan.tk 2

anh leâ vaên

B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :

1) DẠNG 1: Tính I = b

'

a

f[u(x)].u (x)dx∫ bằng cách đặt t = u(x)

Công thức đổi biến số dạng 1: [ ] ∫=∫ )(

)(

)()('.)( bu

au

b

a

dttfdxxuxuf (1)

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt dxxudtxut )()( '=⇒=

Bước 2: Đổi cận : )(

)(

aut

but

ax

bx

=

= ⇒

=

=

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

[ ] ∫=∫= )(

)(

)()('.)( bu

au

b

a

dttfdxxuxufI (tiếp tục tính tích phân mới)

2) DẠNG 2: Tính I = b

a

f(x)dx∫ bằng cách đặt x = (t)ϕ

Công thức đổi biến số dạng 2: [ ]∫=∫= β

α ϕϕ dtttfdxxfI

b

a

)(')()(

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt dttdxtx )()( 'ϕϕ =⇒=

Bước 2: Đổi cận : α β

=

= ⇒

=

=

t

t

ax

bx

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

[ ]∫=∫= β

α ϕϕ dtttfdxxfI

b

a

)(')()( (tiếp tục tính tích phân mới)

Chú ý: Nếu f(x) có chứa:

• 2 2 n(a x )− thì đặt x a .sin t= với t∈ ; 2 2

−pi pi     

, hoặc x a .cos t= với [ ]t 0;∈ pi .

• 2 2 n(a x )+ thì đặt x a . tan t= với t ; 2 2

−pi pi ∈    , hoặc x a .cot t= với ( )t 0;∈ pi .

• ( )n2 2x a− thì đặt ax sin t

= hoặc a

x cos t

= .

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

http://www.anhlevan.tk 3

anh leâ vaên

II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần:

[ ]∫ ∫−= b

a

b

a

b

a dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(

Hay: [ ]∫ ∫−= b

a

b

a

b

a vduvuudv .

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt (?)'.? ( ) ( 0)( )

du dxu

v coøn laïi thöôøngchoïnCdv coøn laïi

 = =  ⇒ 

∈ ==  ∫

Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : [ ]∫ ∫−= b

a

b

a

b

a vduvuudv .

Bước 3: Tính [ ]bavu. và ∫ b

a

vdu

Chú ý: Giả sử cần tính tích phân b

a

f(x)g(x)dx∫ ta thực hiện

Đặtu f(x), dv g(x)dx= = (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân /du u (x)dx=

không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân b

a

vdu∫ phải tính được. Đặc biệt:

i/ Nếu gặp b b b

ax

a a a

P(x)sin axdx, P(x) cos axdx, e .P(x)dx∫ ∫ ∫ với P(x) là đa thức thì đặt u P(x)= .

ii/ Nếu gặp b

n

a

P(x).ln (ax b)dx+∫ thì đặt nu ln (ax b)= + .

iii/ Nếu gặp b

x

a

e .sin axdxα∫ , b

x

a

e .cosaxdxα∫ thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt u LG= .

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

http://www.anhlevan.tk 4

anh leâ vaên

C. PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN I. TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC

1. Dạng bậc lẻ với hàm sin. Phương pháp chung: Đặt t = cosx khi đó dt = - sinx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo biến t. Chú ý:

2 2 2

2n 1 2 n 2 n

sin x 1 cos x 1 t .

(sin x) (sin x) .sin x (1 t ) .sin x+

= − = −

= = −

Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân 2

2 3

0

I cos x sin xdx

pi

= ∫ .

Giải Đặt t cos x dt sin xdx= ⇒ = −

Đổi cận: x 0 t 1, x t 0 2

pi = ⇒ = = ⇒ =

02

2 2 2 2

0 1

I cos x(1 cos x) sin xdx t (1 t )dt

pi

⇒ = − = − −∫ ∫ 1 13 5

2 4

00

t t 2 (t t )dt

3 5 15

 = − = − =  ∫ .

2. Dạng bậc lẻ với hàm cos. Phương pháp chung: Đặt t = sinx khi đó dt = cosx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo biến t. Chú ý:

2 2 2

2n 1 2 n 2 n

cos x sin x 1 t .

(cos x) (cos x) .cosx (1 t ) .cosx+

= = −

= = −

Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân 2

5

0

I cos xdx

pi

= ∫ .

Giải Đặt t sin x dt cos xdx= ⇒ =

Đổi cận: x 0 t 0, x t 1 2

pi = ⇒ = = ⇒ =

2 2

5 2 2

0 0

I cos xdx (1 sin x) cos xdx

pi pi

⇒ = = −∫ ∫ 1 13 5

2 2

00

2t t 8 (1 t ) dt t

3 5 15

 = − = − + =  ∫ .

3. Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos. Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc Chú ý:

( )

2 2

n 2n 2

1 cos2x 1 cos2x cos x ; sin x

2 2 1

sin x.cos x sin2x ; sin x sin x 2

+ − = =

= =

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

http://www.anhlevan.tk 5

anh leâ vaên

Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân 2

4 2

0

I cos x sin xdx

pi

= ∫ .

Giải

2 2

4 2 2 2

0 0

1 I cos x sin xdx cos x sin 2xdx

4

pi pi

= =∫ ∫ 2 2

2

0 0

1 1 (1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx

16 4

pi pi

= − +∫ ∫

2 2

2

0 0

1 1 (1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)

16 8

pi pi

= − +∫ ∫ 3 2

0

x 1 sin 2x sin 4x

16 64 24 32

pi

  pi= − + =   .

Ví dụ 4. Tính tích phân 2

0

dx I

cos x sin x 1

pi

= + +∫ .

Giải

Đặt: ( )2 2x 1 x 2dtt tg dt tg 1 dx dx2 2 2 t 1= ⇒ = + ⇒ = + Đổi cận: x 0 t 0, x t 1

2

pi = ⇒ = = ⇒ =

1

2 2

0 2 2

1 2dt I .

1 t 2t 1 t 1

1 t 1 t

⇒ = − +

+ + + +

∫ 1

1 0

0

dt ln t 1 ln 2

t 1 = = + =

+∫ .

4. Dạng liên kết

Ví dụ 5. Tính tích phân 0

xdx I

sin x 1

pi

= +∫ .

Giải Đặt x t dx dt= pi − ⇒ = − Đổi cận: x 0 t , x t 0= ⇒ = pi = pi ⇒ =

( ) 0

0

( t)dt t I dt

sin( t) 1 sin t 1 sin t 1

pi

pi

pi − pi ⇒ = − = −

pi − + + +∫ ∫ 0 0

dt dt I I

sin t 1 2 sin t 1

pi pi pi

= pi − ⇒ = + +∫ ∫

( ) ( ) 2

2 0 0

dt dt tt t2 4 cossin cos 2 42 2

pi pi pi pi

= = pi −+

∫ ∫ ( ) ( ) ( )2 00 t

d t2 4 tg

t2 2 2 4cos 2 4

pi pi pi

−pi pi pi = = − = pipi

− ∫ .

Vậy I = pi . Tổng quát:

0 0

xf(sin x)dx f(sin x)dx 2

pi pi pi

=∫ ∫ .

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

http://www.anhlevan.tk 6

anh leâ vaên

Ví dụ 6. Tính tích phân 2 2007

2007 2007

0

sin x I dx

sin x cos x

pi

= +∫ .

Giải

Đặt x t dx dt 2

pi = − ⇒ = −

Đổi cận: x 0 t , x t 0 2 2

pi pi = ⇒ = = ⇒ =

( )

( ) ( ) 20070

2007 2007

2

sin t 2I dx

sin t cos t 2 2

pi

pi −

⇒ = − pi pi − + −

∫ 2 2007

2007 2007

0

cos t dx J

sin t cos t

pi

= = +∫ (1).

Mặt khác 2

0

I J dx 2

pi

pi + = =∫ (2). Từ (1) và (2) suy ra I 4

pi = .

Tổng quát:

2 2n n

n n n n

0 0

sin x cos x dx dx , n

sin x cos x sin x cos x 4

pi pi

+pi= = ∈ + +∫ ∫ Z .

Ví dụ 7. Tính tích phân 6 2

0

sin x I dx

sin x 3 cos x

pi

= +∫ và

6 2

0

cos x J dx

sin x 3 cos x

pi

= +∫ .

Giải

• ( ) 6 62 2

6

0 0 0

sin x 3 cos x I 3J dx (sin x 3 cos x)dx cos x 3 sin x 1 3 (1)

sin x 3 cos x

pi pi pi−

− = = − = − − = − +∫ ∫

• ( )

6 6

0 0

dx 1 dx I J dx

2sin x 3 cos x sin x 3

pi pi

+ = = pi+ + ∫ ∫

Đặt t x dt dx 3

pi = + ⇒ =

Đổi cận: x 0 t , x t 3 6 2

pi pi pi = ⇒ = = ⇒ =

2 2

2

3 3

1 dt 1 sin tdt I J

2 sin t 2 sin t

pi pi

pi pi

⇒ + = =∫ ∫ ( ) 2 2

2

3 3

d(cos t)1 1 1 1 d(cos t)

2 4 cos t 1 cos t 1cos t 1

pi pi

pi pi

= = − − +−∫ ∫

2

3

1 cos t 1 1 ln ln 3

4 cos t 1 4

pi

pi

− = =

+ (2).

Từ (1) và (2)

3 1 3I 3J 1 3 I ln 3 16 4

1 1 1 3I J ln 3 J ln 34 16 4

 − − = −  = + ⇒ ⇔   −+ =  = −  

.

Vậy 3 1 3 1 1 3

I ln 3 , J ln 3 16 4 16 4

− − = + = − .

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

http://www.anhlevan.tk 7

anh leâ vaên

Ví dụ 8. Tính tích phân 1

2

0

ln(1 x) I dx

1 x

+ =

+∫ .

Giải Đặt 2x tgt dx (1 tg t)dt= ⇒ = +

Đổi cận: x 0 t 0, x 1 t 4

pi = ⇒ = = ⇒ =

( ) 4 4

2 2

0 0

ln(1 tgt) I 1 tg t dt ln(1 tgt)dt

1 tg t

pi pi

+ ⇒ = + = +

+∫ ∫ .

Đặt t u dt du 4

pi = − ⇒ = −

Đổi cận: t 0 u , t u 0 4 4

pi pi = ⇒ = = ⇒ =

( ) 04

0 4

I ln(1 tgt)dt ln 1 tg u du 4

pi

pi

pi ⇒ = + = − + −  ∫ ∫

4 4

0 0

1 tgu 2 ln 1 du ln du

1 tgu 1 tgu

pi pi

−     = + =      + +∫ ∫ ( ) 4 4

0 0

ln 2du ln 1 tgu du ln 2 I 4

pi pi

pi = − + = −∫ ∫ .

Vậy I ln 2 8

pi = .

Ví dụ 9. Tính tích phân 4

x

4

cos x I dx

2007 1

pi

pi −

= +∫ .

Giải Đặt x t dx dt= − ⇒ = −

Đổi cận: x t , x t 4 4 4 4

pi pi pi pi = − ⇒ = = ⇒ = −

4 4 t

t t

4 4

cos( t) 2007 cos t I dt dt

2007 1 1 2007

pi pi −

− pi pi

− ⇒ = − =

+ +∫ ∫

( ) 4 4t

t t

4 4

(1 2007 ) 1 1 cos tdt 1 cos tdt

1 2007 2007 1

pi pi

pi pi − −

+ − = = −

+ +∫ ∫

4 4 4

0 4 4

1 2 cos tdt I I cos tdt cos tdt

2 2

pi pi pi

pi pi − −

= − ⇒ = = =∫ ∫ ∫ .

Tổng quát:

Với a > 0 , 0α > , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [ ]; −α α thì

x

0

f(x) dx f(x)dx

a 1

α α

−α

= +∫ ∫ .

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

http://www.anhlevan.tk 8

anh leâ vaên

Ví dụ 10. Cho hàm số f(x) liên tục trên � và thỏa f( x) 2f(x) cos x− + = .

Tính tích phân 2

2

I f(x)dx

pi

pi −

= ∫ .

Giải

Đặt 2

2

J f( x)dx

pi

pi −

= −∫ , x t dx dt= − ⇒ = −

Đổi cận: x t , x t 2 2 2 2

pi pi pi pi = − ⇒ = = ⇒ = −

[ ] 2 2

2 2

I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx

pi pi

pi pi − −

⇒ = − = ⇒ = + = − +∫ ∫ 2 2

0 2

cos xdx 2 cos xdx 2

pi pi

pi −

= = =∫ ∫

.

Vậy 2

I 3

= .

* Chú ý: Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.

Ví dụ 4. Tính tích phân

2

4

0

I cos xdx

pi

= ∫ .

Giải Đặt 2t x x t dx 2tdt= ⇒ = ⇒ =

Đổi cận: 2

x 0 t 0, x t 4 2

pi pi = ⇒ = = ⇒ =

( ) 2

2 0

0

I 2 tcos tdt 2 tsin t cos t 2

pi

pi

⇒ = = + = pi −∫ . Vậy I 2= pi − .

Ví dụ 5. Tính tích phân e

1

I sin(ln x)dx= ∫ . Giải

Đặt t tt ln x x e dx e dt= ⇒ = ⇒ = Đổi cận: x 1 t 0, x e t 1= ⇒ = = ⇒ =

( )

1 1t t

00

sin t cos t e (sin1 cos1)e 1 I e sin tdt

2 2

− − + ⇒ = = =∫ .

Vậy (sin1 cos1)e 1

I 2

− + = .

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

http://www.anhlevan.tk 9

anh leâ vaên

II. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán 1. Dạng 1

Giả sử cần tính tích phân b

a

I f(x) dx= ∫ , ta thực hiện các bước sau Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

x a 1x 2x b

f(x) + 0 − 0 +

Bước 2. Tính 1 2

1 2

b x x b

a a x x

I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx= = − +∫ ∫ ∫ ∫ .

Ví dụ 1. Tính tích phân 2

2

3

I x 3x 2 dx −

= − +∫ .

Giải Bảng xét dấu

x 3− 1 2 2x 3x 2− + + 0 − 0

( ) ( ) 1 2

2 2

3 1

59 I x 3x 2 dx x 3x 2 dx

2 −

= − + − − + =∫ ∫ .

Ví dụ 2. Tính tích phân 2

2

0

I 5 4 cos x 4 sin xdx

pi

= − −∫ .

Giải

2 2

2

0 0

I 4 sin x 4 sin x 1dx 2 sin x 1 dx

pi pi

= − + = −∫ ∫ . Bảng xét dấu

x 0 6

pi

2

pi

2 sin x 1− − 0 +

( ) ( ) 6 2

0 6

I 2 sin x 1 dx 2 sin x 1 dx 2 3 2 6

pi pi

pi

pi = − − + − = − −∫ ∫ .

2. Dạng 2

Giả sử cần tính tích phân [ ] b

a

I f(x) g(x) dx= ±∫ , ta thực hiện

Cách 1.

Tách [ ] b b b

a a a

I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx= ± = ±∫ ∫ ∫ rồi sử dụng dạng 1 ở trên.

Cách 2. Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

http://www.anhlevan.tk 10

anh leâ vaên

Ví dụ 1. Tính tích phân ( ) 2

1

I x x 1 dx −

= − −∫ .

Giải Cách 1.

( )

2 2 2

1 1 1

I x x 1 dx x dx x 1 dx − − −

= − − = − −∫ ∫ ∫ 0 2 1 2

1 0 1 1

xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx − −

= − + + − − −∫ ∫ ∫ ∫ 0 2 1 22 2 2 2

1 0 1 1

x x x x x x 0

2 2 2 2− −

     = − + + − − − =        .

Cách 2. Bảng xét dấu

x –1 0 1 2 x – 0 + +

x – 1 – – 0 +

( ) ( ) ( )

0 1 2

1 0 1

I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx −

= − + − + + − + − +∫ ∫ ∫

( ) 120 21 10x x x x 0−= − + − + = . Vậy I 0= .

3. Dạng 3

Để tính các tích phân { } b

a

I max f(x), g(x) dx= ∫ và { } b

a

J min f(x), g(x) dx= ∫ , ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x) g(x)= − trên đoạn [a; b]. Bước 2. + Nếu h(x) 0> thì { }max f(x), g(x) f(x)= và { }min f(x), g(x) g(x)= . + Nếu h(x) 0< thì { }max f(x), g(x) g(x)= và { }min f(x), g(x) f(x)= .

Ví dụ 1. Tính tích phân { } 4

2

0

I max x 1, 4x 2 dx= + −∫ .

Giải Đặt ( ) ( )2 2h(x) x 1 4x 2 x 4x 3= + − − = − + .

Bảng xét dấu x 0 1 3 4

h(x) + 0 – 0 +

( ) ( ) ( ) 1 3 4

2 2

0 1 3

80 I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx

3 = + + − + + =∫ ∫ ∫ .

Vậy 80

I 3

= .

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

http://www.anhlevan.tk 11

anh leâ vaên

Ví dụ 2. Tính tích phân { } 2

x

0

I min 3 , 4 x dx= −∫ .

Giải Đặt ( )x xh(x) 3 4 x 3 x 4= − − = + − .

Bảng xét dấu x 0 1 2

h(x) – 0 +

( )

1 2 21x 2 x

0 10 1

3 x 2 5 I 3 dx 4 x dx 4x

ln 3 2 ln 3 2

 = + − = + − = +  ∫ ∫ .

Vậy 2 5

I ln 3 2

= + .

III. TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ DẠNG HÀM VÔ TỈ.

1.Tích phân dạng: ∫ ++ cbxax

dx

2 (với a ≠ 0)

Cách làm: Biến đổi cbxax ++2 về một trong các dạng ,sau đó thực hiện phép đổi biến tương ứng ta sẽ đưa

về việc tính tích phân của hàm hữu tỉ.

a) 22 ta + Đặt t = a.tgu (hoặc a.cotgu) với u  pi pi∈ −   

; 2 2

(hoặc u∈ ( )pi0; ).

b) 22 ta − Đặt t = a.Sinu(hoặc a.Cosu) với u  pi pi  ∈ −    ; 2 2

(hoặc u [ ]∈ pi0; .

c) 22 at − Đặt t = Cosu

a (hoặc t =

Sinu

a ) với u [ ]∈ pi0; -

 pi      2 (hoặc u

 pi pi  ∈ −    ; 2 2

-{ }0 )

Chú ý công thức:

∫ + ax

dx

2 = axx ++ 2ln +C (C là hằng số tuỳ ý)

Chứng minh:

Đặt t = x + ax +2 dx ax

x dt 

  

+ +=⇒

2 1 =

ax

dxt

+2 .

Từ đó ta có : ax

dx

t

dt

+ =

2 Vậy : ∫

+ ax

dx

2 = ∫ +++=+= CaxxCtt

dt 2lnln (ĐPCM)

Với hàm hợp: ∫ +++= +

Cauu au

du 2 2

ln (*)Trong đó u = u(x).

Ví dụ 1:Tính I = ∫ −

2

3

1 22 xx

dx

I = ∫ −−

2

3

1 2)1(1 x

dx

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

http://www.anhlevan.tk 12

anh leâ vaên

Đặt x - 1 = sint . Đổi cận: x =1 ⇒ t = 0 , x = ⇒ 2

3 t =

pi 6 và .dx cost dt=

vậy I = ∫ ∫

Π Π

Π

== −

6

0

6

0

02

6

sin1

cos tdt

t

tdt =

pi 6

Ví dụ 2:Tính J = ∫ −+

3

2 2 344 xx

dx

Công thức: 2 2

1 lndx x x k C x k

= + + + +

∫ (*) ( Đổi biến số )

Áp dụng công thức (*) ta có: J = ∫ −+

3

2 2 344 xx

dx = ∫

−+

3

2 2 3)12( x

dx

= ∫ −+

+3

2 2 4)12(

)12(

2

1

x

xd =

3

2

2 34412ln 2

1 −+++ xxx = 

 

   

+

+

215

457 ln

2

1 .

Ví dụ 3: Tính K = ∫

+

+−

2

21

2

1 2 344 xx

dx = ∫

+

+−

2

21

2

1 2 2)12( x

dx

Cách 1: Áp dụng công thức (*) ta có:

K = ∫

+

+−

2

21

2

1 2 2)12( x

dx =

2

21

2

1

2 34412ln 2

1 +

+−++ xxx = 21ln + .

Cách 2: Đặt 2x - 1 = 2 tan t Chú ý:

Nếu mẫu thức có thể khai căn được thì ta có thể giải bài toán một cách đơn giản hơn như sau:

Ví dụ 4: Tính M = ∫ − +−

0

2 2 144 xx

dx

M = ∫ − −

0

2 12x

dx =

= ∫ ∫ − − −

−−= − −

−= −

0

2

0

2

0

2

21ln 2

1

21

)21(

2

1

21 x

x

xd

x

dx = - 5ln

2

1

2.Tích phân dạng: ∫ ++

+

cbxax

dxBAx

2

)( Với a.A ≠ 0

Cách làm:

Tách tích phân đã cho thành hai tích phân có chung mẫu là cbxax ++2 ,một tích phân có tử là đạo hàm của tam thức bậc hai,một tích phân có tử là hằng số.

Tức là tách: ∫ ++

+

cbxax

dxBAx

2

)( = ∫ +

++

+ dx

cbxax

bax

2

2 ∫

++ cbxax

dxM

2

.

Ví dụ 1:Tính I = ∫ −+

+

32

)4( 2 xx

dxx

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

http://www.anhlevan.tk 13

anh leâ vaên

Ta có: I = 2

1 ∫

−+

++ dx

xx

x

32

6)22( 2

=  

  

−+ +

−+

+ ∫ ∫

32

6

32

)22(

2

1 22 xx

dx

xx

dxx =

= 321ln332 22 −++++−+ xxxxx C+

Ví dụ 2:Tính J = ∫ − ++

+0

1 2 22

)2(

xx

dxx

Ta có: J = ∫ − ++

+0

1 2 22

)2(

xx

dxx =

2

1 ∫ − ++

++0

1 2 22

2)22( dx

xx

x

= 2

1 ∫ − ++

+0

1 2 22

)22(

xx

dxx + ∫

− ++

0

1 2 22xx

dx

= 0

1

22 221ln22 −

  

  +++++++ xxxxx = )21ln(12 ++−

3.Tích phân dạng: ∫ +++ cbxaxx

dx

2)( βα (Với 0. ≠aα )

Cách làm: Đặt t

x 1

=+ βα chuyển tích phân cần tính về tích phân dạng (a).

Ví dụ 1: Tính I = ∫ +++

1

0 2 22)1( xxx

dx

Đặt 1+x = t

1 . Đổi cận: x = 0⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t =

2

1 và dx = -

2t

dt .

Ta có: I = ∫ +

1

2

1 2 1t

dt =

1

2

1

2 1ln ++ tt = 51

)21(2 ln

+

+

Ví dụ 2: Tính J = ∫ +−

3

2 2 1)1( xx

dx

Đặt x -1 = t

1 ⇔ x =

t

t 1+

Đổi cận: x = 2 thì t = 1 , x = 3 thì t = 2

1 và dx = -

2t

dt

Tích phân cần tính là: I = ∫ +

  

 +

−2 1

1 2

2

1 11

t

t

t

t

dt

= ∫ ++

1

2

1 2 122

1

tt

dt

= ∫ +

  

 +

 

  

 +1

2

1 2

4

1

2

1

2

1

2

1

t

td

= 1

2

1 2 12

2

1 ln

2

1 ++++ ttt = 

 

   

+

+

52

103 ln

2

1

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

http://www.anhlevan.tk 14

anh leâ vaên

Ví dụ 3: Tính K = ∫ +−+

2ln

0 21)1( xxx

x

eee

dxe

Đặt t = ex ⇒ dt = exdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = ln2 ⇒ t = 2

Ta có: K = ∫ +−+

2

1 21)1( ttt

dt

Đặt u = t+1

1 ta có:

2)1( t

dt du

+ −= ⇒

2u

du dt −= và 1

1 −=

u t

Vậy K = ∫ +

  

 −

 

  

 −2 1

3

1 2

12

1

2

1

2

1

3

1

u

ud

= 2

1

3

1

2

12

1

2

1

2

1 ln

3

1 +

  

 −+− uu = 3ln 6

3

Ví dụ 4: Tính N = ∫

Π

Π +

2

6

2 2

cot

xSin

gxdx

Ta có : N = ∫

Π

Π +

2

6

2 2

cot

xSin

gxdx = N = ∫

Π

Π +

2

6

2 2

cos

xSinSinx

xdx

Đặt t = sin x thì : N = ∫ +

1

2

1 2 2tt

dt Lại đặt u =

t

1 thì N = ∫

+

2

1 2

2

12

1

u

du =

= 2

1 2

1

2

2

1 ln ++ uu = 

 

   

+

+

32

322 ln

2

1

4. Tích phân dạng: ∫ ++ cbxax

dxxf

2

)( Với 0≠a bậc f(x)≥2,f(x) là đa thức.

Cách làm:Tách ∫ ++ cbxax

dxxf

2

)( = g(x). cbxax ++2 + ∫

++ cbxax

dx

2 λ

Với g(x) là đa thức , bậc g(x)+1 = bậc f(x). Tìm các hệ số của g(x) và số λ bằng phương pháp hệ số bất định.

Ví dụ 1: Tính M = ∫ 32

)1( 2

2

++

+

xx

dxx

Tách : ∫ 32

)1( 2

2

++

+

xx

dxx = 32)( 2 +++ xxBAx + ∫

++ 322 xx

dx λ

Lấy đạo hàm hai vế ta có: = ++

+

32

1 2

2

xx

x 32. 2 ++ xxA +

32

)1)(( 2 ++

++

xx

xBAx +

322 ++ xx

λ

Đồng nhất hệ số ta có : 1; 2

3 ;

2

1 =−== λBA

Vậy M = 32 2

3 2 ++ −

xx x

+ ∫ ++ 322 xx

dx = 32

2

3 2 ++ −

xx x

+ Cxxx +++++ 321ln 2

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

http://www.anhlevan.tk 15

anh leâ vaên

Ví dụ 2: Tính N = ∫ ++

+− dx

xx

xx

22

1 2

3

Ta có : ∫ ++

+− dx

xx

xx

22

1 2

3

= 22)( 22 ++++ xxCBxAx + ∫ ++ 222 xx

dx λ (1)

Lấy đạo hàm hai vế của (1) và quy đồng ta có: x3-x +1 = (2A.x+B)(x2+2x+2) +(Ax2+Bx+C)(x-1) +D Đồng nhất hệ số ta có

1 3

3 1 5 5 2 0 6 4 3 1 1

62 1 5 2

A

A B

A B

A B C C

B C D

D

 =

 = − =+ = ⇔ 

+ + = −  =  + + = 

 = 

Vậy có: M = ( ) 22152 6

1 22 +++− xxxx + 2

5 ∫

++ 222 xx

dx

= ( ) 22152 6

1 22 +++− xxxx + Cxxx +++++ 221ln 2

5 2

Ví dụ 3: Tính P = ( )

∫ − ++

+−0

1 2 22

)1(1 dx

xx

xxx

Để áp dụng được ví dụ 2 ta làm như sau:Tách tích phân cần tính thành hiệu của hai tích phân:

P = ( )

∫ − ++

+−0

1 2 22

)1(1 dx

xx

xxx = ∫

− ++

−0

1 2

3

22 dx

xx

xx = ∫

− ++

+−0

1 2

3

22

1 dx

xx

xx - ∫

− ++

0

1 2 22xx

dx

= N - ∫ − ++

0

1 2 22xx

dx = ( ( ) ) 0

1

222 221ln 2

3 22152

6

1

− ++++++++− xxxxxxx

= 21ln 2

3

3

4 2

6

1 ++− .

5. Tích phân dạng: ∫ −++n mnm dcxbax dx

2)()( với 0.,, * ≠∈ caNnm

Cách làm:Đặt n m

dcx

bax t 

  

 + +

= ta sẽ đưa về tính tích phân của hàm hữu tỉ.

Ví dụ : Tính I = ∫ ++

1

0 3 )45()13( xx

dx

Ta thấy 2;3 == nm đặt t = 3

45

13  

  

 + +

x

x

3 2

45

13  

  

 + +

=⇒ x

x t

2

2

)45(

7 .

45

13 .32

+  

  

 + +

=⇒ x

dx

x

x tdt

32 21

2

)45( t

dt

x

dx =

+ ⇒

Đổi cận: 8

1 0 =⇒= tx ;

27

8 1 =⇒= tx

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

http://www.anhlevan.tk 16

anh leâ vaên

Vậy : I = ∫ ++

1

0 3 )45()13( xx

dx =

( ) ∫

 

  

 + +

+

1

0 3

2

45

13 45

x

x x

dx = ∫

27

8

8

1 3.21

2

tt

dt = dtt 3

427

8

8

121

2 − ∫ =

27

8

8

137

2

t − =

7

1

6. Tích phân dạng: ∫ + +

dx dcx

bax Với ( )0. ≠ca

Cách làm: Cách 1: Đặt dcx

bax t

+ +

=

Cách 2: Đặt dcxt += Với cách đặt trên ta sẽ đưa tích phân cần tính thành tích phân đơn giản hơn.

Ví dụ :Tính J = ∫ − +1

0 3

1 dx

x

x

Ta thực hiện theo cách đặt 2: Đặt xt −= 3 x

dx dt

− −=⇒

32 dt

x

dx 2

3 −=

− ⇒

Khi đó 22 413 txtx −=+⇒+−=

Vậy J = ∫ − +1

0 3

1 dx

x

x = ∫ −−

2

3

242 dtt

Đặt 2t siny= Đổi cận: 3 3

t y pi

= ⇒ = ; 2 4

t y pi

= ⇒ =

2.dt cosydy= Vậy : J = 4

2

3

2 4 4 .2sin y cosydy

pi

pi

− −∫ = 3 3

2

4 4

1 24. 2 8 2 cos y

cos ydy dy

pi pi

pi pi

+ =∫ ∫

= ( ) 3

4

4 2 2y sin y

pi

pi + = 3 2

3 pi

+ −

7. Tích phân dạng: [ ]∫ dxuuxR mn ;; Cách làm: Đặt k ut = Với k là BCNN của m và n.

Ví dụ1 :Tính I = ∫ − ++

+−0

1 3 11

11 dx

x

x

Đặt 6 1+= xt dxdtttxt =⇒≥+=⇒ 56 6)0(1

I = ∫ − ++

+−0

1 3 11

11 dx

x

x = ∫ +

−1

0 2

3 5

1

1 6 dt

t

t t

= ∫  

 

 +

− +

+++−++− 1

0 22

2346

1

6

1

6 666666 dt

tt

t ttttt

Tích phân này dễ dàng tính được.

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

http://www.anhlevan.tk 17

anh leâ vaên

Ví dụ 2 : Tính J = ∫ ++++ −+3

0 2 112

21 dx

xxx

x

Đặt dxtdtxt =⇒+= 21

J = ∫ ++++ −+3

0 2 112

21 dx

xxx

x = ∫ +

−2

1 4

)2(2

tt

tdtt = ∫ +

−2

1 3 1

42 dt

t

t = ∫ 

  

 +−

+ +

+

2

1 2 11

dt tt

CBt

t

A

Đồng nhất hệ số ta có: 2;2;2 −==−= CBA

Vậy J = ++− 2

1

1ln2 t ∫ +− −2

1 2 1

22 dt

tt

t = ∫ ∫ +−

 

  

 − −

+−

+− +

2

1

2

1 22

2

1

2

1

1

)1(

3

2 ln2

tt

td

tt

ttd = Ltt ++−+ 1ln

3

2 ln2 2

Tính L bằng cách đặt tgut 2

3

2

1 =− Ta có đáp số là: I =

4ln 3 3 3

pi − .

8.Tích phân dạng: ∫ + dxbxax qpr )( (p,q,r là các phân số) a)Nếu q nguyên đặt x= ts với s là BCNN của mẫu số r và p.

b)Nếu p

r 1+ nguyên đặt sp tbxa =+ với s là mẫu của phân số q.

c) Nếu p

r 1+ +q nguyên đặt sp tbax =+− với s là mẫu số của phân số q.

Ví dụ1 : Tính I = ∫ − 34 )1( xx dx

Viết tích phân cần tính ở dạng sau: I = ∫ − 34 )1( xx dx

= dxxx

3

4

1

2

1

1

− −

  

   

 +−∫

Vì q=-3 nguyên nên đặt x= t4 ta có dx=4t3dt

I = ∫ − 32 3

)1(

4

tt

dtt =4 ∫ − 3)1(t

tdt = ∫ 

  

− −

− −

− dt

ttt 1

1

)1(

1

)1(

1 4

23 = Ct

tt +

  

 −−

− +

− − 1ln

1

1

)1(2

1 4

2

.

Ví dụ 2 : Tính J = ∫ −− 22

5

)( xaxa

dxx ( )0>a

Ta có: J = dxxax∫ −

− 2 3

25 )( Vì 3 2

151 =

+ =

+ p

r nguyên nên đặt a-x2 = t2

tdtxdxtdtxdxtax −=⇒=−⇒−=⇒ 22)( 224

Vậy J = ( )

∫ −

− 3

22

t

tdtta = - dt

t

aatt ∫

+− 3

224 2 = C

t

a att +++−

2 3 2

3

1 .

Ví dụ 3 : Tính N = ∫ dxxax3 3−

Ta có: N = ∫ dxxax3 3− = dxxax 3 1

23

1

)( −∫

Do .3

1 ;2;

3

1 === qpr vì 1

1 =+

+ q

p

r nguyên nên ta đặt 32 1 tax =−− hay

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

http://www.anhlevan.tk 18

anh leâ vaên

23

2 2

3 23

2 )1(

3

1 1

+ −=⇒

+ =⇔=−

t

dtat dx

t

a xt

x

a

Vậy N = ∫ − 23 2 12 1

dx x

a = ∫ 

  

+ − dt

t

at t

23

2

)1(

3

2

1 = ∫ +− 23

3

)1(2

3

t

dtta =

= ∫  

 

 +1 1

2 2t td

a = ∫ +−+ 12)1(2 32 t

dta

t

at (Tích phân này dễ dàng tính được).

9.Các phép thế Euler: a) Đặt cbxax ++2 = ± xa. t+ Nếu a >0

b) Đặt cbxax ++2 = tx. ± c Nêú c>0

c) Đặt cbxax ++2 = )( 0xxt − Nếu x0 là nghiệm của TTB2

Ví dụ 1 :Tính M = ∫ ++

1

0 2 56xx

dx

a=1 >0 Sử dụng phép thế thứ nhất đặt txtxaxx +=+=++ .562

62

5 )(56

2 22

− −

−=⇔+=+−⇒ t

t xtxxx

Suy ra: dt t

tt dx

2

2

)62(

)56(2

−+− =

62

56 56

2 2

+− −+−

=++ t

tt xx

Với 50 =⇒= tx

1321 −=⇒= tx (Chú ý rằng 0>+ tx )

Ta có: I = ∫ −

+−

132

5 3t

dt = - 

 

   

− =+−

232

53 ln3ln

132

5

t

Ví dụ 2 :Tính P = ∫ −

− +++

++−2

5 2

2

23

23 dx

xxx

xxx

Tam thức bậc hai x2+3x+2 có nghiệm là -1.Theo phép thế thứ ba,đặt

)1(232 +=++ xtxx ; [ ]1;20 −−∈∀≤ xt

1

2 )1(2

2

2 2

+− =⇒+=+⇒

t

t xxtx vậy

22 )1(

2

− =

t

tdt dx

Khi đó: P = ∫ −

− +++

++−2

5 2

2

23

23 dx

xxx

xxx = ∫

− +−−

−−0

2

3 3

2

)1)(1)(2(

42 dt

ttt

tt

= 3

1 ∫

− +

0

2

3 3)1(t

dt + 18

5 ∫

− +

0

2

3 2)1(t

dt - 108

17 ∫

− +

0

2

3 1

dt t

dt + 4

3 ∫

− −

0

2

3 1

dt t

dt - 27

16 ∫

− −

0

2

3 2

dt t

dt

= 2

3

0 2

2ln 27

16 1ln

4

3 1ln

108

17

)1(18

5

)1(6

1 −

 

  

 −+−−++

+ +

+ ttt

tt .

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

http://www.anhlevan.tk 19

anh leâ vaên

Ví dụ 3 :Tính L = ∫ −

− +−−

2

7

3 2 43xx

dx

Vì c = 4 >0 có thể sử dụng phép thế thứ hai.

Đặt 2432 +=+=+−− xtcxtxx

Chuyển việc tính tích phân trên về việc tính tích phân ∫ − +

0

1 2 1t

dt

10.Một số bài toán khác: Ngoài các dạng trên thì có những bài có thể áp dụng trực tiếp công thức tích phân,hoặc sử dụng một số phép biến đổi đơn giản.Sau đây là một số ví dụ:

Ví dụ 1: Tính I1 = ∫ −

− −

3

8 1 xx

dx Đặt xt −= 1

Ví dụ 2: Tính I2 = ∫ + 1

0

3 1dxxx Đặt 3 1+= xt

Ví dụ 3: Tính I3 = ∫ + 2

7

0 3 12x

dx Đặt 3 12 += xt

Có thể trình bày như sau: I3 = )12()12( 2

1 2 7

0

3

1

++∫ −

xdx = 2

7

0

3 2

3

)12( +x =

4

9

Ví dụ 4: Tính I4 = ∫ −+ 1

0 1 xx

dx

Ta có : I4 = ∫ ++ 1

0

)1( dxxx = ( ) 1

0

33

3

2 1

3

2  

  

 ++ xx = 3

24

Ví dụ 5: Tính dxx∫ − 1

0

24

Cách1: Sử dụng phương pháp lấy tích phân từng phần

Đặt 24 xu −= dxdv = Cách 2: Đặt x =2Sint (Vì đây là tích phân dạng 1-b)

Đáp số: 3

2 3

Π +

Ví dụ 6: Tính ∫ − n

m

dxax 22

Dùng phương pháp lấy tích phân từng phần với dxdvaxu =−= ;22 .

Ta có kết quả là : n

m

axx a

ax x

 

  

 −+−− 22

2 22 ln

22

Ví dụ 7: Tính ∫ + xa

dx

1 ( )10 ≠< a

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

http://www.anhlevan.tk 20

anh leâ vaên

Đặt 2 x

at −

= ta có: ∫ + xa

dx

1 = ∫ +++−=

+ − Ctt

at

dt

a

2

2 1ln

ln

2

1ln

2

Ví dụ 8: Tính ∫ + x

x

e

dxex

1

.

Đặt xet += 1 ( )1>t

Ta có: ∫ + x

x

e

dxex

1

. ∫ ∫ ∫ ++−=−= dttdttdtt )1ln(2)1ln(2)1ln(2 2

Cttttt +−+++−−= 4)1ln()1(2)1ln()1(2

Vậy : ∫ + x

x

e

dxex

1

. = Cxeex xx +−++++− 2)11ln(41)2(2

Ví dụ 9: Tính ∫ −

+

2

12

1 x

dxx n

Đặt 21 xt −= ( )1

Ta có: ∫ −

+

2

12

1 x

dxx n

∫ ∫ ∫∑ =

−−=−−= −

n

k

kk

n

kn n

dttCdtt x

dxx

0

22

2

22

)1()1( 12

1 =

= ( )∑ =

+

+ +

−− n

k

k k

n

k C

k

t C

0

12

12 1 = ∑

=

+ + +−

+ −

n

k

kk

nk Cx k

C

0

2

12 21 )1(

12 )1( ./

muoán hoïc toát tích phaân thì hoïc daïng & ñoïc thaät nhieàu baøi giaûi saün

Đơn vị chủ quản: CÔNG TY TNHH THƯƠNG MẠI ĐIỆN TỬ THIÊN THI
Địa chỉ: 41-43 Trần Cao Văn, P6, Q3, HCM
giấy phép MXH: 102/GXN - TTĐT