Tài liệu

SÁCH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 (CẤP QUỐC GIA)

Chia sẻ bởi
Lượt xem: 312     Tải về: 0     Lượt mua: 0     Định dạng:  
Báo lỗi
Bình luận
Nhúng
/ 108
Tài liệu SÁCH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 (CẤP QUỐC GIA) - tài liệu, sách iDoc.VnSÁCH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 (CẤP QUỐC GIA),Sách bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 dự thi Quốc gia của các thầy ở trường THPT chuyên Thái Bình và một số trường chuyên ở phía Bắc…
background image

 

1

PhÇn thø nhÊt

 : 

C¸c Chuyªn §Ò 

 

PHƯƠNG TRÌNH HÀM 

 

Nguyễn Hoàng Ngải 

Tổ trưởng tổ Toán THPT Chuyên Thái Bình 

 

     Một trong những chuyên đề rất quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh 
giỏi toán quốc gia, khu vực và quốc tế, đó là phương trình hàm, bất phương trình hàm. Có rất 
nhiều tài liệu viết về chuyên đề này. Qua một số năm bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh 
giỏi toán  quốc gia và qua một số kì tập huấn hè tại Đại học khoa học tự nhiên – Đại học quốc 
gia Hà Nội, chúng tôi rút ra một số kinh nghiệm dạy về chuyên đề này và trao đổi với các đồng 
nghiệp. 

                   Phần I:     

NHẮC LẠI NHỮNG KHÁI  NIÊM CƠ BẢN 

1.  Nguyên lý Archimede 

 

Hệ quả:   

!

:

1

x

k

k x k

∀ ∈ ⇒ ∃ ∈

≤ < +  . 

Số k như thế gọi là phần nguyên của x, kí hiệu [x] 
Vậy :   

[ ]

[ ] 1

x

x

x

≤ <

+  

2.  Tính trù mật  

Tập hợp  

gọi là trù mật trong   

⇔  

,

,

x y

x

y

< đều tồn tại a thuộc A sao cho 

x<a<y. 
Chú ý: 
• 

Tập   trù mật trong   

• 

Tập 

 

|

,

2n

m

A

m

n

=

 trù mật trong   

3.  Cận trên cận dưới 

Giả sử  

Số x được gọi là một cận trên của tập A nếu với mọi  a A

∈ thì a  ≤  x 

Số x được gọi là một cận dưới của tập A nếu với mọi  a A

∈ thì a  ≥  x 

Cận trên bé nhất( nếu có) của A được gọi là cận trên đúng của A và kí hiệu là supA 
Cận dưới lớn nhất( nếu có) của A được gọi là cận dưới đúng của A và kí hiệu là infA 

Nếu supA ∈ A thì sup A  ≡ maxA 
Nếu inf A ∈ A thì infA  ≡  minA 
Ví dụ: cho a < b 
 Nếu A = (a, b) thì sup A = b 
                               inf A = a   
 Nếu A = [a, b] thì sup A = max A =b 
                               inf A = min A = a        

Tính chất: 
Tính chất 1:  Nếu A 

≠ ∅ , A bị chặn thì tồn tại supA, infA 

 
 
 
 
 

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

background image

 

2

Tính chất 2

 

 

 

4. 

Hàm sơ cấp  

¾  Hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác, 

hàm số lượng giác ngược. 

¾ Hàm số sơ cấp là những hàm được tạo thành bởi hữu hạn các phép toán số học ( +, - , x, : ), 

phép toán lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản. 

5.  Hàm cộng tính, nhân tính trên một tập hợp 

™  Hàm số f(x) được gọi là cộng tính trên tập xác định D nếu với mọi x, y ∈D thì x + y ∈ D và 

f(x + y) = f(x) + f(y). 

™   Hàm số f(x) được gọi là nhân tính trên tập xác định D nếu với mọi x, y ∈D thì x . y ∈ D và 

f(x . y) = f(x) . f(y). 

™  Nếu với mọi x, y ∈D mà x+y ∈D , x – y ∈D và f( x – y) = f(x) – f(y) thì f(x) cũng gọi là 

một hàm cộng tính trên D. 

™  Hàm f(x) = 

 ( 

là hàm nhân tính. 

6.  Hàm đơn điệu 

•  Hàm số f(x) gọi là tăng trên (a, b) nếu : 

Với mọi

1

2

1

2

1

2

,

( , ),

( )

( )

x x

a b x

x

f x

f x

 

•  Hàm số f(x) gọi là giảm trên (a, b) nếu : 

Với mọi

1

2

1

2

1

2

,

( , ),

( )

( )

x x

a b x

x

f x

f x

 

Phần II.  

CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG 

 

Phương pháp 1: Hệ số bất định.  
Tạp chí toán học trong nhà trường, số 8 – 2004 trang 62 – 66 (bản tiếng Nga) 
 
Nguyên tắc chung: 

9  Dựa vào điều kiện bài toán, xác định được dạng của f(x), thường là f(x) = ax + b hoặc f(x) = ax2+ 

bx + c 

9  Đồng nhất hệ số để tìm f(x) 
9  Chứng minh rằng mọi hệ số khác của f(x) đều không thỏa mãn điều kiện bài toán. 

Phương pháp dồn biến 
Bài 1: Tìm f:  

→  sao cho: 

2

2

(

) (

) (

) (

) 4 .(

),    

,

x y f x y

x y f x y

xy x

y

x y

+

− +

=

∈  

Giải: 

Đặt       

2

2

u v

x

u x y
v x y

u v

y

+

⎧ =

= +

= −

⎪ =

⎪⎩

   

,

sup

0,

:

,

inf

0,

:

a

a A

A

a A

a

a

a A

A

a A

a

α

α

ε

α ε

β

β

ε

β ε

∀ ∈

=

⇔ ⎨

∀ > ∃ ∈

− <

∀ ∈

=

⇔ ⎨

∀ > ∃ ∈

+ >

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

background image

 

3

2

2

2

2

( )

( ) (

)

( )

( )

,

,

0

vf u

uf v

u

v uv

f u

f v

u

v

u v

u

v

=

=

 

Cho v = 1 ta có:  

2

2

( )

(1)

1 ,

0

1

f u

f

u

u

u

=

∀ ≠  

3

( )

,

0

f u

u

au u

=

+

∀ ≠           (a = f(1) – 1) 

Cho x = y = 0 ta có 2f(0) = 0 do đó f(0) = 0 
Kết luận   

3

( )

,

f x

x

ax x

=

+

∀ ∈  

 

Bài 2:

  

1

1

(

1) 3

1 2 ,

1 2

2

x

f x

f

x x

x

− −

= −

∀ ≠

 

Giải : 

Đặt : 

1

1

1

1

1 2

2

1

2

1

x

y

y

y

x

x

x

y

y

= − ⇒ =

⇒ − =

 

 

       

1

1

(

1) 3

1 2 ,

1 2

2

1

1

1

3 (

1)

,

1 2

2

1

2

3

8 (

1) 1 2

1 2

1

3

1

(

1)

1 2

,

8

2

1

2

1

3

1

( )

1 2

,

8

2

1

2

x

f x

f

x x

x

x

f

f x

x

x

x

f x

x

x

f x

x

x

x

f x

x

x

x

− −

= −

∀ ≠

⇒ ⎨

⎪⇒

− =

∀ ≠

⇒ −

− = −

+

− =

− +

+

∀ ≠

=

+

+

∀ ≠

+

 

Ví dụ 1:

 Đa thức f(x) xác định với  x

∀ ∈ và thỏa mãn điều kiện: 

                 

2

2 ( )

(1

)

,

f x

f

x

x

x

+

=

∀ ∈   (1) .   Tìm f(x) 

 

Giải: 

Ta nhận thấy vế trái của biểu thức dưới dấu f là bậc nhất : x, 1 – x vế phải là bậc hai x2. 
Vậy f(x) phải có dạng: f(x) = ax2 + bx + c 
Khi đó (1) trở thành: 
2(ax2 + bx + c) + a(1 – x)2 + b(1 – x) + c = x2    x

∀ ∈  do đó: 

3ax2 + (b – 2a)x + a + b + 3c = x2,     x

∀ ∈  

Đồng nhất các hệ số, ta thu được: 

                        

1
3

3

1

2

2

0

3

3

0

1
3

a

a

b

a

b

a b

c

c

⎧ =

=

=

=

+ +

=

⎪ = −

⎪⎩

 

1

1

1

3 (

1)

,

2

1

2

1

2

1

1

1

3 (

1)

,

1 2

2

1

2

y

f

f y

y

y

y

x

f

f x

x

x

x

− =

∀ ≠

− =

∀ ≠

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

SÁCH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 (CẤP QUỐC GIA)

Sách bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 dự thi Quốc gia của các thầy ở trường THPT chuyên Thái Bình và một số trường chuyên ở phía Bắc (Nam Định, Hà Nam,...). Đây là một tập tài liệu quý cho học sinh và giáo viên tham khảo. Phần thứ nhất là tuyển chọn các chuyên đề: 1. Phương trình hàm 2. Định lý roll và áp dụng vào phương trình 3. Tứ giác toàn phần nội tiếp và ngoại tiếp 4. Chuyên đề hàm sinh 5. Phương trình nghiệm nguyên 6. Phương pháp Gien giải phương trình nghiệm nguyên 7. Bản chất hình học trong biểu hiện đại số 8. Một số bài toán về hàm số bậc nhất và bậc hai 9. Phép biến hình trong hình học phẳng 10. Nhìn đệ quy qua lăng kính song ánh 11. Phép vị tự, phép quay... Phần thứ hai là các bài tập, đề thi có lời giải. Bản PDF gồm 108 trang, được soạn thảo công phu, chi tiết.

Gửi nhận xét của bạn về tài liệu này
Tài liệu liên quan
Có thể bạn quan tâm