Chia sẻ Download
Tài liệu Luận văn: NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN SƠ CẤP
/7
Thành viên idoc2012

Luận văn: NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

- 12 tháng trước
9,039
Báo lỗi

Nguyên lí Dirichlet là một công cụ rất hiệu quả dùng ể chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của toán học. Nó ặc biệt có nhiều áp dụng trong linh vực khác nhau của toán học. Nguyên lí này trong nhiều tr÷ờng hợp ng÷ời ta dễ dàng chứng minh ÷ợc sự tồn tại mà không ÷a ra ÷ợc ph÷ìng pháp tìm ÷ợc vật cụ thể, nh÷ng trong thực tế nhiều bài toán ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là ủ rồi.

Nội dung

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRỊNH VIỆT PHƯƠNG

NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHAN HUY KHẢI

Thái Nguyên - 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

Lời nói đầu Nguyên lí Dirichlet là một công cụ rất hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết

quả sâu sắc của toán học. Nó đặc biệt có nhiều áp dụng trong lĩnh vực khác nhau của toán học. Nguyên lí này trong nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra được phương pháp tìm được vật cụ thể, nhưng trong thực tế nhiều bài toán ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi.

Luận văn này dành để trình bày các ứng dụng của nguyên lí Dirichlet để giải các bài toán sơ cấp.

Ngoài phần mở đầu luận văn gồm bốn chương và danh mục tài liệu tham khảo. Chương I dành để trình bày các kiến thức cơ bản (đặc biệt giới thiệu nguyên lí Dirichlet) sẽ dùng đến trong các chương sau.

Chương II với tiêu đề "Ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào bài toán hình học tổ hợp" trình bày các ứng dụng của nguyên lí Dirichlet để giải các bài toán trong lĩnh vực hình học tổ hợp.

Cần nhấn mạnh rằng sử dụng nguyên lí Dirichlet là một trong những phương pháp hiệu quả nhất để giải các bài toán về hình học tổ hợp.

Chương III trình bày cách sử dụng nguyên lí Dirichlet để giải các bài toán về số học, đặc biệt là các bài toán về tính chia hết, tính chính phương . . .

Phần còn lại của luận văn dành để trình bày các ứng dụng của nguyên lí Dirichlet vào các bài toán khác.

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thày giáo PGS.TS Phan Huy Khải. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán trường Đại học Khoa học, khoa Sau đại học - ĐHTN, các thầy, cô giáo đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tập tại đây. Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu và các đồng nghiệp của tôi ở trường THPT Phương Xá - Phú Thọ đã động viên, giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình hoàn thành luận văn này.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

Mục lục

Trang Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Chương 1 Các kiến thức cơ bản 1 1.1 Nguyên lý Dirichlet cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Nguyên lý Dirichlet mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chương 2 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào bài toán hình học tổ hợp 4

Chương 3 Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào số học 25

Chương 4 Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào các bài toán khác 42 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

ii

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

Chương 1

Các kiến thức cơ bản

Nguyên lí những cái lồng nhốt các chú thỏ đã được biết đến từ rất lâu. Nguyên lí này được phát biểu đầu tiên bởi nhà toán học người Đức Perter Guster Lijeune Dirichlet (1805-1859).

1.1 Nguyên lý Dirichlet cơ bản Nếu nhốt n+ 1 con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng chứa

ít nhất hai con thỏ.

1.2 Nguyên lý Dirichlet mở rộng Nếu nhốt n con thỏ vào m ≥ 2 cái chuồng thì tồn tại một chuồng có ít nhất[

n+m− 1 m

] con thỏ, ở đây kí hiệu [α] để chỉ phần nguyên của số α.

Ta chứng minh nguyên lí Dirichlet mở rộng như sau : Giả sử trái lại mọi chuồng thỏ không có đến [

n+m− 1 m

] =

[ n− 1 m

+ 1

] =

[ n− 1 m

] + 1

con, thì số thỏ trong mỗi chuồng đều nhỏ hơn hoặc bằng [ n− 1 m

] con. Từ đó suy

ra tổng số con thỏ không vượt quá m. [ n− 1 m

] ≥ n − 1 con. Điều này vô lí vì có n

con thỏ. Vậy giả thiết phản chứng là sai.

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

Nguyên lí Dirichlet và ứng dụng giải toán sơ cấp 2

Nguyên lí Dirichlet mở rộng được chứng minh. Nguyên lí Dirichlet tưởng chừng đơn giản như vậy, nhưng nó là một công cụ rất

hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của toán học. Nó đặc biệt có nhiều áp dụng trong lĩnh vực khác nhau của toán học. Nguyên lí này trong nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra được phương pháp tìm được vật cụ thể, nhưng trong thực tế nhiều bài toán ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi.

Nguyên lí Dirichlet thực chất là một định lí về tập hữu hạn. Người ta có thể phát biểu chính xác nguyên lí này dưới dạng sau đây.

1.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần

tử của A lớn hơn số lượng phần tử của B. Nếu với một quy tắc nào đó, mỗi phần tử của A cho tương ứng với một phần tử của B, thì tồn tại ít nhất hai phần tử khác nhau của A mà chúng tương ứng với một phần tử của B.

a1

a2

a3

a4

a5 b4

b3

b2

b1

A B Hình 1.1

Với cùng một cách diễn đạt như vậy, nguyên lí Dirichlet mở rộng có dạng sau đây.

1.4 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng Giả sử A,B là hai tập hợp hữu hạn và S(A), S(B) tương ứng kí hiệu là các số

lượng phần tử của A và B. Giả sử có một số tự nhiên k nào đó mà S(A) > k.S(B) và ta có quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử của A với một phần tử của B. Khi đó

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

Nguyên lí Dirichlet và ứng dụng giải toán sơ cấp 52

⇒ 0 < 1 +

1

xi − 1− 1

xj

1 + (1 + 1 xi )(1 +

1 xj

) ≤ √ 3

⇒ 0 < xj − xi xixj + (1 + xi)(1 + xj)

≤ √ 3

⇒ 0 < xj − xi 1 + xi + xj + 2xixj

≤ √ 3.�

Ví dụ 4.15 Chứng minh rằng mỗi bộ số 11 số thực khác nhau trong khoảng [1, 1000] có thể chọn được hai số x và y mà chúng thoả mãn bất đẳng thức sau:

0 < x− y < 1 + 3 3√xy.

Lời giải: Ta xét căn bậc ba của các số trong bộ số đã cho x1, x2, . . . , x11. Từ điều kiện

xi ∈ [1, 1000] đã cho suy ra 1 ≤ 3√xi ≤ 10, (i = 1, . . . , 11). Ta chia khoảng [1, 1000] ra 10 phần bằng nhau. Có tất cả 11 số 3

√ x1, 3

√ x2, . . . , 3

√ x11.

Theo nguyên lí Dirichlet suy ra có ít nhất 2 trong số 11 số đó nằm trong cùng một đoạn nhỏ. Giả sử hai số đó là 3√xi, 3√xj , (i 6= j) và xi > xj .

⇒ 0 < 3√xi − 3√xj ≤ 910 < 1 ⇒ 0 < ( 3√xi − 3√xj)3 < 13

⇒ 0 < xi − xj − 3. 3 √ x2i xj + 3

3

√ xix2j < 1

3

⇒ 0 < xi − xj < 1 + 3 3 √ x2i xj − 3 3

√ xix2j

⇒ 0 < xi − xj < 1 + 3 3√xixj( 3√xi − 3√xj), vì 0 < 3√xi − 3√xj < 1 ⇒ 0 < xi − xj < 1 + 3 3√xixj .�

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Hữu Điển, Phương pháp DIRICHLET và ứng dụng, NXB Khoa học và kĩ thuật Hà nội, 1999.

[2] Phan Huy Khải, Các bài toán hình học tổ hợp, NXB Giáo dục, 2007.

[3] Phan Huy Khải, Các bài toán cơ bản của số học, NXB Giáo dục, 2009.

[4] Phan Huy Khải, Số học và dãy số, NXB Giáo dục, 2009.

[5] Nguyễn Vũ Thanh, Số học, NXB Giáo dục, 2006.

[6] Phạm Minh Phương, Các chuyên đề số học, NXB Giáo dục, 2006.

[7] Nguyễn Văn Vĩnh, 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp, NXB Giáo dục, 2005.

[8] Tập san Toán học tuổi trẻ các năm.

53

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

Có thể bạn quan tâm
Đơn vị chủ quản: CÔNG TY TNHH THƯƠNG MẠI ĐIỆN TỬ THIÊN THI
Địa chỉ: 41-43 Trần Cao Văn, P6, Q3, HCM
giấy phép MXH: 102/GXN - TTĐT