Tài liệu

Giải hệ phương trình không mẫu mực

Chia sẻ bởi
Lượt xem: 2995     Tải về: 9     Lượt mua: 0     Định dạng:  
Báo lỗi
Bình luận
Nhúng
/ 12
Tài liệu Giải hệ phương trình không mẫu mực - tài liệu, sách iDoc.VnGiải hệ phương trình không mẫu mực,Các phương pháp giải phương trình không mẫu mực với các ví dụ minh họa và bài tập đi kèm
Chuyên đề bồi dưỡng HSG
1
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
I. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC
Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp này là khi thy số phương trình trong hệ ít
hơn số ẩn. Tuy nhiên có những hệ số phương trình bằng số ẩn ta cũng có thể sử dụng
phương pháp này.
Ví d1: Giải hệ phương trình nghim dương:
( )
3
3
3
(1 )(1 )(1 ) 1
x y z
x y z xyz
+ + =
ì
ï
í
+ + + = +
ï
î
Giải:
( )
(
)
3
2
3
3 3
1 1 3 3 ( ) 1VT x y z xy yz zx xyz xyz xyz xyz xyz= + + + + + + + ³ + + + = +
Dấu “=” xy ra khi x=y=z=1.
Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình:
2 2
1 3 5 1 3 5
80
x x x y y y
x y x y
ì
+ + + + + = - + - + -
ï
í
+ + + =
ï
î
Giải: ĐK:
x -1;y 5³ ³
Ta thấy rằng nếu ta thay x=y-6 thì phương trình thứ nhất VT=VP. Do đó, ta xét các trường
hợp sau:
Nếu x>y-6 thì VT>VP.
Nếu x<y-6 thì VT<VP.
Suy ra x=y-6. Từ đây và phương trình thhai ta tìm được x,y.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình nghim dương
9 3 4 2
3 4 2
1
1 1 1
8 1
x y z
x y z
x y z
ì
+ + =
ï
+ + +
í
ï
=
î
Gii: Bài toán này có số ẩn nhiều hơn số phương trình vì vy ta sẽ sử dụng phương pháp
bất đẳng thức
Nhận xét: Bậc của x,y,z ở phương trình 2 khác nhau nên ta sử dụng Cauchy sao cho
xuất hiện bậc giống hệ.
Từ phương trình th nhất ta có:
Chuyên đề bồi dưỡng HSG
2
1 2 4 2
1 1 1 1
1 3 3 2
1 1 1 1
1 3 4
1 1 1 1
x y z
x x y z
x y z
y x y z
x y z
z x y z
= + +
+ + + +
= + +
+ + + +
= + +
+ + + +
Áp dụng Cauchy cho 8 số ta có:
2 4 2
8
2 4 2
3 3 2
8
3 3 2
3 4
8
3 4 1
1
8
1
( 1) ( 1) ( 1)
1
8
1
( 1) ( 1) ( 1)
1
8
1
( 1) ( 1) ( 1)
x y z
x
x y z
x y z
y
x y z
x y z
z
x y z
³
+
+ + +
³
+
+ + +
³
+
+ + +
Suy ra
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
24 32 16
9
8
3 4 2 24 32 16
9 3 4 2
1 1 1
8
1 1 1 1 1 1
8 1
x y z
x y z x y z
x y z
³
+ + + + + +
Þ £
Dấu bằng xy ra
1 1
1 1 1 9 8
x y z
x y z
x y z
Û = = = Û = = =
+ + +
.
Ví dụ 4:
Giải hệ
4 2
2 2
697
81
3 4 4 0
x y
x y xy x y
ì
+ =
ï
í
ï
+ + - - + =
î
Giải:
Ví dụ này tôi muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị của x;y nhờ điều kiện có
nghiệm của tam thức bậc 2.
Xét phương trình bậc 2 theo x:
2 2
2 2
( 3) 4 4 0
( 3) 4( 2)
x
x x y y y
y y
+ - + - + =
D = - - -
Để phương trình có nghiệm thì
7
0 1
3
x
yD ³ Û £ £
.
Tương tự xét phương trình bậc 2 theo y ta có:
4
0
3
x£ £
Suy ra
4 2
4 2
4 7 697
3 3 81
x y
æ ö æ ö
+ £ + =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
4 7
;
3 3
x yÞ = =
Tuy nhiên thế vào hệ không thoả mãn dó đó hệ vô nghiệm.
Ví dụ 5:
Giải hệ
5 4 2
5 4 2
5 4 2
2 2
2 2
2 2
x x x y
y y y z
z z z x
ì
- + =
ï
- + =
í
ï
- + =
î
Liên hệ quảng cáo

Chuyên đề bồi dưỡng HSG
3
Giải:
Ý tưởng của bài toán này là đoán nghim của hệ x=y=z=1; Sau đó chứng minh x>1 hay
x<1 hệ vô nghim.
+) Nếu x>1
5 4 2 5 4 2
4
2 2 2
( 1)( 2 2) 0
z z z x z z z
z z z
Þ = - - > - +
Þ - + + <
Do
2
4 2 2
1 3
2 2 ( 1) 0
2 4
z z z z
æ ö
+ + = - + + + >
ç ÷
è ø
nên z<1.
Tương tự, ta có y>1
Þ
x<1 suy ra vô lý.
+) Nếu x<1
Tương tự trên ta cũng suy ra được điều vô lý.
Vậy x=y=z=1 là nghim của hệ.
BÀI TẬP T RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải hệ:
a)
2 2 2
6 6 6
3
xy yz zx x y z
x y z
ì
+ + = + +
ï
í
+ + =
ï
î
b)
2 2 2
3
3
x y z
x y z
ì
+ + =
í
+ + =
î
Bài 2: Giải h
3
9
3 6
x y
x y
ì
=
í
+ =
î
ĐS: VN
Bài 3: Giải hệ
( )
2
2
xz y
x z y x y z
= +
ì
ï
í
+ = - +
ï
î
ĐS: (2;2;2)
Bài 4: Giải hệ
3 2 2
2 3
64
( 2) 6
y x x y
x y
ì
+ = -
ï
í
+ = +
ï
î
ĐS: (0;2)
Bài 5: Giải hệ
2
1 3
( 4) 5 5
x x y
x y
ì
+ + + =
ï
í
+ - + =
ï
î
ĐS: (0;4)
Bài 6:
3
2
2 2
3 4
1 1
x y x
x x y
ì
+ + =
ï
í
ï
- + + =
î
ĐS: (1;0)
Bài 7. Gii h
3 2
2 2
2
0
x y
x xy y y
ì
+ =
ï
í
+ + - =
ï
î
ĐS: VN
Bài 8: Giải hệ
2 2 2
2 2
1
2 2 2 1 0
x y z
x y xy yz xz
ì
+ + =
ï
í
+ - + - + =
ï
î
HD: Hệ đã cho tương đương với
Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Giải hệ phương trình không mẫu mực

Các phương pháp giải phương trình không mẫu mực với các ví dụ minh họa và bài tập đi kèm

Chia sẻ bởi
Lượt xem: 2995     Tải về: 9     Lượt mua: 0     Định dạng:  
Gửi nhận xét của bạn về tài liệu này
comments powered by Disqus
Tài liệu liên quan
Có thể bạn quan tâm