Tài liệu

Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH bồi dưỡng học sinh giỏi

Chia sẻ bởi
Lượt xem: 6235     Tải về: 41     Lượt mua: 4     Định dạng:  
Báo lỗi
Bình luận
Nhúng
/ 18
Tài liệu Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH bồi dưỡng học sinh giỏi - tài liệu, sách iDoc.VnChuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH bồi dưỡng học sinh giỏi,Chuyên đề hệ phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi - Tuyển tập các bài Toán hệ phương trình (có lời giải) dành cho học sinh giỏi thi…
1
HÖ ph¬ng tr×nh
I. HÖ ph¬ng tr×nh d¹ng ho¸n vÞ vßng quanh.
" Bµi 1. ( §Ò thi HSG quèc gia n¨m 1994 )
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :
()
()
()
32
32
32
33ln 1
33ln 1
33ln 1
x
xxxy
y
yyyz
zz zz x
+
−+ + =
+
−+ + =
+
−+ + =
Gi¶i :
XÐt hµm sè :
()
(
)
32
f33ln1tt t tt=++ +
Ta cã :
()
2
2
2
21
f' 3 1 0, R
1
t
tt x
tt
=++ >
−+
VËy hµm sè
()
f t
®ång biÕn trªn R. Ta viÕt l¹i hÖ ph¬ng tr×nh nh sau :
()
()
()
f
f
f
x
y
y
z
zx
=
=
=
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö :
{
}
min , ,
xyz=
. Lóc ®ã :
() ()
(
)
(
)
f f f f
x
yxyyzyzzx≤⇒ ≤ ⇒. Hay :
x
yzx
≤≤
x
yz⇒==
Víi :
x
yz==
, xÐt ph¬ng tr×nh :
(
)
32
23ln 10xx xx
+
−+ + =
Do hµm sè :
()
(
)
32
23ln 1xx x xx
ϕ
=++ + ®ång biÕn trªn R nªn pt cã nghiÖm duy nhÊt : 1x
=
.
VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt :
1
x
yz
=
==.
" Bµi to¸n tæng qu¸t 1 . XÐt hÖ ph¬ng tr×nh cã d¹ng :
(
)
(
)
() ()
()()
() ()
12
23
1
1
fg
fg
....
fg
fg
nn
n
xx
xx
xx
xx
=
=
=
=
NÕu hai hµm sè fg cïng t¨ng trªn tËp A vµ
(
)
12
, ...,
n
x
xx lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh , trong
®ã , 1,2,...,
i
x
Ai n∈∀= th×
12
...
n
x
xx
=
==.
Chøng minh :
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö :
{
}
112
min , ...,
n
x
xx x= .
Lóc ®ã ta cã :
()
(
)
(
)
(
)
12 1 2 2 3 23 1
f f g g ...
n
x
xx x xxxxxx≤⇒ ⇒≤ .
VËy :
12 1
....
n
x
xxx≤≤≤≤
Tõ ®ã suy ra :
12
...
n
x
xx===.
Th¸ng 08 – 2007...Ph¹m Kim Chung
2
" Bµi 2.
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :
32
32
32
2
2
2
1
4
1
4
1
4
xx
yy
zz
y
z
x
+
+
+
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
Gi¶i:
V× vÕ tr¸i cña c¸c ph¬ng tr×nh trong hÖ ®Òu d¬ng nªn hÖ chØ cã nghiÖm : ,, 0xyz> .
XÐt hµm sè :
()
32
2
1
f
4
tt
t
+
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
, ta cã :
() ( )
()
32
2
2
1
f' 2ln 4 3 . 0, 0
4
tt
ttt t
+
⎛⎞
=
−+<>
⎜⎟
⎝⎠
.
VËy hµm sè
()
f t
nghÞch biÕn trªn kho¶ng
(
)
0;
+
.
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö :
{
}
min , ,
xyz= . Lóc ®ã :
() ()
(
)
(
)
f f f fz
x
yxyyzy zx≤⇒ ⇒≥
() ()
f fz
x
zx yx⇒= = =
.
VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt :
1
2
xyz
=
==
.
" Bµi to¸n tæng qu¸t 2 . XÐt hÖ ph¬ng tr×nh cã d¹ng (víi n lÎ ):
(
)
(
)
() ()
()()
() ()
12
23
1
1
fg
fg
....
fg
fg
nn
n
xx
xx
xx
xx
=
=
=
=
NÕu hµm sè f gi¶m trªn tËp A , g t¨ng trªn A
(
)
12
, ...,
n
x
xx lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh , trong
®ã , 1,2,...,
i
x
Ai n∈∀= th×
12
...
n
x
xx
=
== víi n lÎ .
Chøng minh :
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö :
{
}
112
min , ...,
n
x
xx x= .
Lóc ®ã ta cã :
() () ()
(
)
(
)()
12 1 2 2 3 23 1 1 12
f f g g ... f f
nn
x
xx x xxxxxx x xxx≤⇒ ⇒≥ .
12
x
x=
Tõ ®ã suy ra :
12
...
n
x
xx===.
" Bµi 3.
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :
()
()
()
()
2
2
2
2
12
12
12
12
x
y
y
z
zt
tx
=
=
=
−=
Liên hệ quảng cáo

3
Gi¶i :
V× vÕ tr¸i cña c¸c ph¬ng tr×nh trong hÖ kh«ng ©m nªn ph¬ng chØ cã nghiÖm : , , , 0xyzt .
XÐt hµm sè :
() ( )
2
f1ss=− , ta cã :
(
)
(
)
f' 2 1ss
=
. Do ®ã hµm sè t¨ng trªn kho¶ng
(
)
1;
+
vµ gi¶m
trªn
[
]
0; 1 ( Do f(s) liªn tôc trªn R ).
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö :
{
}
min , , ,
x
xyzt= .
+ NÕu
()
(
)
1; , , , 1;xxyzt∈+ ∈+, do ®ã theo bµi to¸n tæng qu¸t 1, hÖ cã nghiÖm
duy nhÊt :
23xyzt====+ .
+ NÕu
[
]
0; 1x
(
)
0 f 1 02 1
x
y⇒≤ ⇒≤ , hay
[
]
0;1y , t¬ng tù
[
]
,0;1zt⇒∈ .
VËy
[
]
,,, 0;1xyzt . Do ®ã ta cã :
() ()
(
)
(
)
f f f fz
x
yxyyzy zx≤⇒ ⇒≥
x
z⇒=.
Víi
x
z=
() ()
f fz
x
yt⇒==.
Lóc ®ã hÖ ph¬ng tr×nh trë thµnh :
()
()
()
2
2
2
12
12
12
x
y
xy
xy
yx
xy
=
−=
⎨⎨
=
−=
⎪⎪
=−
23xy⇔==
VËy hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm :
23xyzt====+ 23xy== .
" Bµi to¸n tæng qu¸t 3 . XÐt hÖ ph¬ng tr×nh cã d¹ng (víi n ch½n ):
(
)
(
)
() ()
()()
() ()
12
23
1
1
fg
fg
....
fg
fg
nn
n
xx
xx
xx
xx
=
=
=
=
NÕu hµm sè f gi¶m trªn tËp A , g t¨ng trªn A
(
)
12
, ...,
n
x
xx lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh , trong
®ã , 1,2,...,
i
x
Ai n∈∀= th×
13 1
24
...
...
n
n
x
xx
x
xx
===
===
víi n ch½n .
Chøng minh :
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö :
{
}
112
min , ...,
n
x
xx x= .
Lóc ®ã ta cã :.
() () ()
(
)
13 1 3 2 4
24
f f gg
x
xxx xx
xx
≤⇒
⇒≥
() () () ()
24 35
35
f f gg
.........
x
xxx
xx
⇒≤⇒
⇒≤
()() ()
(
)
211
11
f fgg
.........
nnn
n
x
xx x
xx
−−
⇒≤
⇒≤
()() ()()
11 2 2
f fgg
nnn
x
xxxxx
⇒≥
VËy :
13 11 13 1
.... ...
nn
x
xxxxxx
−−
≤≤ === ;
24 2 24
.... ...
nn
x
xxxxxx≥≥≥≥⇒===
Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH bồi dưỡng học sinh giỏi

Chuyên đề hệ phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi - Tuyển tập các bài Toán hệ phương trình (có lời giải) dành cho học sinh giỏi thi HSG cấp tỉnh, cấp quốc gia.
Tác giả: Thầy Phạm Kim Chung (Nghệ An).

Chia sẻ bởi
Lượt xem: 6235     Tải về: 41     Lượt mua: 4     Định dạng:  
Gửi nhận xét của bạn về tài liệu này
comments powered by Disqus
Tài liệu liên quan
Có thể bạn quan tâm