Tài liệu

Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH bồi dưỡng học sinh giỏi

Chia sẻ bởi
Lượt xem: 6286     Tải về: 41     Lượt mua: 4    
Báo lỗi
Bình luận
Nhúng
/ 18
Tài liệu Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH bồi dưỡng học sinh giỏi - tài liệu, sách iDoc.VnChuyên đề hệ phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi - Tuyển tập các bài Toán hệ phương trình (có lời giải) dành cho
1
HÖ ph¬ng tr×nh
I. HÖ ph¬ng tr×nh d¹ng ho¸n vÞ vßng quanh.
" Bµi 1. ( §Ò thi HSG quèc gia n¨m 1994 )
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :
()
()
()
32
32
32
33ln 1
33ln 1
33ln 1
x
xxxy
y
yyyz
zz zz x
+
−+ + =
+
−+ + =
+
−+ + =
Gi¶i :
XÐt hµm sè :
()
(
)
32
f33ln1tt t tt=++ +
Ta cã :
()
2
2
2
21
f' 3 1 0, R
1
t
tt x
tt
=++ >
−+
VËy hµm sè
()
f t
®ång biÕn trªn R. Ta viÕt l¹i hÖ ph¬ng tr×nh nh sau :
()
()
()
f
f
f
x
y
y
z
zx
=
=
=
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö :
{
}
min , ,
xyz=
. Lóc ®ã :
() ()
(
)
(
)
f f f f
x
yxyyzyzzx≤⇒ ≤ ⇒. Hay :
x
yzx
≤≤
x
yz⇒==
Víi :
x
yz==
, xÐt ph¬ng tr×nh :
(
)
32
23ln 10xx xx
+
−+ + =
Do hµm sè :
()
(
)
32
23ln 1xx x xx
ϕ
=++ + ®ång biÕn trªn R nªn pt cã nghiÖm duy nhÊt : 1x
=
.
VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt :
1
x
yz
=
==.
" Bµi to¸n tæng qu¸t 1 . XÐt hÖ ph¬ng tr×nh cã d¹ng :
(
)
(
)
() ()
()()
() ()
12
23
1
1
fg
fg
....
fg
fg
nn
n
xx
xx
xx
xx
=
=
=
=
NÕu hai hµm sè fg cïng t¨ng trªn tËp A vµ
(
)
12
, ...,
n
x
xx lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh , trong
®ã , 1,2,...,
i
x
Ai n∈∀= th×
12
...
n
x
xx
=
==.
Chøng minh :
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö :
{
}
112
min , ...,
n
x
xx x= .
Lóc ®ã ta cã :
()
(
)
(
)
(
)
12 1 2 2 3 23 1
f f g g ...
n
x
xx x xxxxxx≤⇒ ⇒≤ .
VËy :
12 1
....
n
x
xxx≤≤≤≤
Tõ ®ã suy ra :
12
...
n
x
xx===.
Th¸ng 08 – 2007...Ph¹m Kim Chung
2
" Bµi 2.
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :
32
32
32
2
2
2
1
4
1
4
1
4
xx
yy
zz
y
z
x
+
+
+
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
Gi¶i:
V× vÕ tr¸i cña c¸c ph¬ng tr×nh trong hÖ ®Òu d¬ng nªn hÖ chØ cã nghiÖm : ,, 0xyz> .
XÐt hµm sè :
()
32
2
1
f
4
tt
t
+
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
, ta cã :
() ( )
()
32
2
2
1
f' 2ln 4 3 . 0, 0
4
tt
ttt t
+
⎛⎞
=
−+<>
⎜⎟
⎝⎠
.
VËy hµm sè
()
f t
nghÞch biÕn trªn kho¶ng
(
)
0;
+
.
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö :
{
}
min , ,
xyz= . Lóc ®ã :
() ()
(
)
(
)
f f f fz
x
yxyyzy zx≤⇒ ⇒≥
() ()
f fz
x
zx yx⇒= = =
.
VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt :
1
2
xyz
=
==
.
" Bµi to¸n tæng qu¸t 2 . XÐt hÖ ph¬ng tr×nh cã d¹ng (víi n lÎ ):
(
)
(
)
() ()
()()
() ()
12
23
1
1
fg
fg
....
fg
fg
nn
n
xx
xx
xx
xx
=
=
=
=
NÕu hµm sè f gi¶m trªn tËp A , g t¨ng trªn A
(
)
12
, ...,
n
x
xx lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh , trong
®ã , 1,2,...,
i
x
Ai n∈∀= th×
12
...
n
x
xx
=
== víi n lÎ .
Chøng minh :
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö :
{
}
112
min , ...,
n
x
xx x= .
Lóc ®ã ta cã :
() () ()
(
)
(
)()
12 1 2 2 3 23 1 1 12
f f g g ... f f
nn
x
xx x xxxxxx x xxx≤⇒ ⇒≥ .
12
x
x=
Tõ ®ã suy ra :
12
...
n
x
xx===.
" Bµi 3.
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :
()
()
()
()
2
2
2
2
12
12
12
12
x
y
y
z
zt
tx
=
=
=
−=
3
Gi¶i :
V× vÕ tr¸i cña c¸c ph¬ng tr×nh trong hÖ kh«ng ©m nªn ph¬ng chØ cã nghiÖm : , , , 0xyzt .
XÐt hµm sè :
() ( )
2
f1ss=− , ta cã :
(
)
(
)
f' 2 1ss
=
. Do ®ã hµm sè t¨ng trªn kho¶ng
(
)
1;
+
vµ gi¶m
trªn
[
]
0; 1 ( Do f(s) liªn tôc trªn R ).
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö :
{
}
min , , ,
x
xyzt= .
+ NÕu
()
(
)
1; , , , 1;xxyzt∈+ ∈+, do ®ã theo bµi to¸n tæng qu¸t 1, hÖ cã nghiÖm
duy nhÊt :
23xyzt====+ .
+ NÕu
[
]
0; 1x
(
)
0 f 1 02 1
x
y⇒≤ ⇒≤ , hay
[
]
0;1y , t¬ng tù
[
]
,0;1zt⇒∈ .
VËy
[
]
,,, 0;1xyzt . Do ®ã ta cã :
() ()
(
)
(
)
f f f fz
x
yxyyzy zx≤⇒ ⇒≥
x
z⇒=.
Víi
x
z=
() ()
f fz
x
yt⇒==.
Lóc ®ã hÖ ph¬ng tr×nh trë thµnh :
()
()
()
2
2
2
12
12
12
x
y
xy
xy
yx
xy
=
−=
⎨⎨
=
−=
⎪⎪
=−
23xy⇔==
VËy hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm :
23xyzt====+ 23xy== .
" Bµi to¸n tæng qu¸t 3 . XÐt hÖ ph¬ng tr×nh cã d¹ng (víi n ch½n ):
(
)
(
)
() ()
()()
() ()
12
23
1
1
fg
fg
....
fg
fg
nn
n
xx
xx
xx
xx
=
=
=
=
NÕu hµm sè f gi¶m trªn tËp A , g t¨ng trªn A
(
)
12
, ...,
n
x
xx lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh , trong
®ã , 1,2,...,
i
x
Ai n∈∀= th×
13 1
24
...
...
n
n
x
xx
x
xx
===
===
víi n ch½n .
Chøng minh :
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö :
{
}
112
min , ...,
n
x
xx x= .
Lóc ®ã ta cã :.
() () ()
(
)
13 1 3 2 4
24
f f gg
x
xxx xx
xx
≤⇒
⇒≥
() () () ()
24 35
35
f f gg
.........
x
xxx
xx
⇒≤⇒
⇒≤
()() ()
(
)
211
11
f fgg
.........
nnn
n
x
xx x
xx
−−
⇒≤
⇒≤
()() ()()
11 2 2
f fgg
nnn
x
xxxxx
⇒≥
VËy :
13 11 13 1
.... ...
nn
x
xxxxxx
−−
≤≤ === ;
24 2 24
.... ...
nn
x
xxxxxx≥≥≥≥⇒===
Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH bồi dưỡng học sinh giỏi
Chuyên đề hệ phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi - Tuyển tập các bài Toán hệ phương trình (có lời giải) dành cho học sinh giỏi thi HSG cấp tỉnh, cấp quốc gia. Tác giả: Thầy Phạm Kim Chung (Nghệ An).
Chia sẻ bởi
Lượt xem: 6286     Tải về: 41     Lượt mua: 4    
Gửi nhận xét của bạn về tài liệu này
comments powered by Disqus
Tài liệu liên quan
Có thể bạn quan tâm