Tài liệu

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp dồn biến

Chia sẻ bởi
Lượt xem: 4157     Tải về: 43     Lượt mua: 0    
Báo lỗi
Bình luận
Nhúng
/ 60
Tài liệu Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp dồn biến - tài liệu, sách iDoc.Vn[color=#000000]Nội dung: Giới thiệu, BĐT 3 biến với cực trị đạt được đối xứng, Dồn biến bằng kỹ thuật hàm số,
PHÖÔNG PHAÙP DOÀN BIEÁN
Phan Thaønh Vieät
Noäi dung:
1. Giôùi thieäu.
2. BÑT 3 bieán vôùi cöïc trò ñaït ñöôïc ñoái xöùng.
3. Doàn bieán baèng thuaät haøm soá.
4. BÑT 3 bieán vôùi cöïc trò ñaït ñöôïc taïi bieân.
5. BÑT 4 bieán.
6. Doàn bieán baèng haøm loài.
7. Doàn bieán veà giaù trò trung bình.
8. Ñònh lyù doàn bieán toång quaùt.
9. Nhìn laïi.
10. Baøi taäp.
1. Giôùi thieäu.
Caùc baïn thaân meán, raát nhieàu trong soá caùc BÑT maø ta ñaõ gaëp coù daáu
ñaúng thöùc khi caùc bieán soá baèng nhau. Moät duï kinh ñieån laø
duï 1: (BÑT Cauchy) Cho x, y, z > 0 thì x + y + z 3
3
xyz.
Coù theå noùi soá löôïng BÑT nhö vaäy nhieàu ñeán noãi nhieàu baïn seõ thaáy
ñieàu ñoù laø ... hieån nhieân. Taát nhieân, khoâng haún nhö vaäy. Tuy nhieân, trong
tröôøng hôïp ñaúng thöùc khoâng xaûy ra khi taát caû caùc bieán baèng nhau thì ta
laïi raát thöôøng rôi vaøo moät tröôøng hôïp khaùc, toång quaùt hôn: ñoù laø coù moät soá
(thay taát caû) caùc bieán baèng nhau. ÔÛ ñaây chuùng toâi daãn ra moät duï seõ
ñöôïc chöùng minh ôû phaàn sau.
duï 2: (VMO) Cho x, y, z R, x
2
+ y
2
+ z
2
=9. Thì
2(x + y + z) xyz 10
Trong BÑT naøy thì daáu "=" xaûy ra khi x = y =2,z = 1 (vaø caùc hoaùn
vò).
1
Coù theå nhieàu baïn seõ ngaïc nhieân khi bieát raèng coøn coù nhöõng baát ñaúng
thöùc maø daáu "=" xaûy ra khi caùc bieán ñeàu khaùc nhau. duï sau ñaây cuõng
seõ ñöôïc chöùng minh ôû phaàn sau.
duï 3: (Jackgarfukel) Cho a, b, c laø 3 soá thöïc khoâng aâm vaø coù toái ña
moät soá baèng 0. Thì ta luoân coù:
a
a + b
+
b
b + c
+
c
c + a
5
4
a + b + c
ÔÛ ñaây, daáu ñaúng thöùc xaûy ra khi a =3b>0,c=0(vaø caùc daïng hoaùn vò).
Caùc baïn coù theå töï hoûi laø caùc giaù trò chaúng haïn nhö (3, 1, 0) coù ñaëc bieät
maø laøm cho ñaúng thöùc xaûy ra. Moät caùch tröïc giaùc, ta thaáy döôøng nhö ñieåm
ñaëc bieät ñoù laø do coù moät bieán baèng 0. giaû thieát laø caùc bieán khoâng aâm,
neân bieán baèng 0 coøn ñöôïc goïi laø bieán coù giaù trò treân bieân.
Toùm laïi, trong caùc BÑT maø ta gaëp, coù caùc tröôøng hôïp daáu "=" xaûy
ra raát thöôøng gaëp: ñoù laø tröôøng hôïp taát caû caùc bieán baèng nhau (ta goïi laø "cöïc
trò ñaït ñöôïc taïi taâm"), toång quaùt hôn laø tröôøng hôïp coù moät soá caùc bieán baèng
nhau (ta goïi laø "cöïc trò ñaït ñöôïc coù tính ñoái xöùng"), moät tröôøng hôïp khaùc
laø daáu "=" xaûy ra khi coù moät bieán coù giaù trò treân bieân (vaø ta goïi laø "cöïc trò
ñaït ñöôïc taïi bieân").
Phöông phaùp doàn bieán ñöôïc ñaët ra ñeå giaûi quyeát caùc BÑT coù daïng nhö
treân. töôûng chung laø: neáu ta ñöa ñöôïc veà tröôøng hôïp coù hai bieán baèng
nhau, hoaëc laø moät bieán coù giaù trò taïi bieân, thì soá bieán seõ giaûm ñi. Do ñoù
BÑT môùi ñôn giaûn hôn BÑT ban ñaàu, ñaëc bieät neáu BÑT môùi chæ coøn moät
bieán thì baèng caùch khaûo saùt haøm moät bieán soá ta seõ chöùng minh BÑT khaù
ñôn giaûn. Chính töôûng laø giaûm daàn soá bieán neân phöông phaùp naøy ñöôïc
goïi laø phöông phaùp doàn bieán.
Baây giôø chuùng toâi seõ trình baøy caùc thuaät chính cuûa phöông phaùp
thoâng qua caùc baøi toaùn cuï theå. Ñoái töôïng raát quan troïng maø chuùng toâi
muoán baïn ñoïc naém baét laø caùc BÑT vôùi 3 bieán soá. Sau ñoù, caùc môû roäng cho
4 bieán seõ ñöôïc trình baøy. Cuoái cuøng, chuùng ta ñeán vôùi caùc phöông phaùp
doàn bieán toång quaùt cho n bieán soá, trong ñoù baïn ñoïc seõ cuøng chuùng toâi ñi töø
nhöõng keát quaû "coå ñieån" tôùi nhöõng caûi tieán nhoû vaø sau ñoù laø moät keát quaû
2
Liên hệ quảng cáo

heát söùc toång quaùt. Tinh thaàn xuyeân suoát cuûa chuùng toâi laø muoán baïn ñoïc
caûm nhaän ñöôïc tính töï nhieân cuûa vaán ñeà. Qua ñoù, caùc baïn seõ lyù giaûi ñöôïc
"taïi sao", ñeå roài coù theå töï mình böôùc ñi treân con ñöôøng saùng taïo.
*Ghi chuù: Chuùng toâi seõ ñaùnh daáu caùc baøi toaùn theo töøng muïc. soá löôïng
caùc ñònh lyù laø raát ít neân chuùng toâi khoâng ñaùnh daáu. Chuùng toâi coá gaéng ghi
teân taùc giaû vaø nguoàn trích daãn ñoái vôùi taát caû caùc keát quaû quan troïng, ngoaïi
tröø nhöõng keát quaû cuûa chuùng toâi.
2. BÑT 3 bieán vôùi cöïc trò ñaït ñöôïc ñoái xöùng.
Xin phaùc hoïa laïi töôûng cuûa chuùng ta nhö sau. Baøi toaùn cuûa chuùng ta seõ
coù daïng f(x, y, z) 0 vôùi x, y, z laø caùc bieán soá thöïc thoûa maõn caùc tính chaát
naøo ñaáy. Ñieàu chuùng ta mong muoán laø seõ coù ñaùnh giaù f(x, y, z) f(t, t, z)
vôùi t laø moät ñaïi löôïng thích hôïp tuøy theo moãi lieân heä giöõa x, y, z (ta seõ
goïi ñaây laø thuaät doàn veà 2 bieán baèng nhau). Sau ñoù chuùng ta kieåm tra
f(t, t, z) 0 ñeå hoaøn taát chöùng minh. Löu raèng neáu caùc bieán ñaõ ñöôïc
chuaån hoùa thì böôùc cuoái chæ laø baøi toaùn vôùi moät bieán.
Trong muïc naøy, chuùng ta seõ chæ xem xeùt caùc duï baûn nhaát.
Baøi toaùn 1. (BÑT Cauchy) Cho x, y, z > 0, chöùng minh raèng
x + y + z 3
3
xyz
Lôøi giaûi:
BÑT laø ñoàng baäc neân baèng caùch chuaån hoùa ta coù theå giaû söû x+y+z =1
(*). Vieát laïi baøi toaùn döôùi daïng f(x, y, z) 0 vôùi f(x, y, z)=127xyz.Ta
thaáy raèng khi thay x vaø y bôûi t =
x+y
2
thì ñieàu kieän (*) vaãn baûo toaøn (töùc laø
vaãn coù t + t + z =1), neân ta chæ phaûi xem xeùt söï thay ñoåi cuûa xyz.
Theo BÑT Cauchy vôùi 2 bieán (chöùng minh raát ñôn giaûn) thì xy t
2
,
neân xyz t
2
z. Vaäy f(x, y, z) f(t, t, z).
Cuoái cuøng ñeå laø z =1 2t neân ta coù:
f(t, t, z)=127t
2
z =127t
2
(1 2t)=(1+6t)(1 3t)
2
0
vaø baøi toaùn chöùng minh xong. Ñaúng thöùc xaûy ra khi x = y vaø 3t =1, nghóa
laø x = y =1/3, töông ñöông vôùi x = y = z.
3
Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Liên hệ quảng cáo

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp dồn biến
[color=#000000]Nội dung: Giới thiệu, BĐT 3 biến với cực trị đạt được đối xứng, Dồn biến bằng kỹ thuật hàm số, BĐT 3 biến với cực trị đạt được tại biên, BĐT 4 biến, Dồn biến bằng hàm lồi, Dồn biến về giá trị trung bình, Định lý dồn biến tổng quát, Nhìn lại[/color]
Chia sẻ bởi
Lượt xem: 4157     Tải về: 43     Lượt mua: 0    
Gửi nhận xét của bạn về tài liệu này
comments powered by Disqus
Tài liệu liên quan
Có thể bạn quan tâm