Chia sẻ 1,000 VNĐ
Tài liệu BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ
Tài liệu này có phí 1,000 VNĐ

bạn cần mua tài liệu để được xem đầy đủ nội dung

Tài liệu này có thể xem trước 1 trang

/25 trang
Thành viên idoc2012

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ

- 12 tháng trước
18,693
Báo lỗi

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Nội dung
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới

hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có

thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:

 lim 0 hay u 0 khi n + .nunn    

b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực

( n ), nếu  lim 0. n n

u a 

  Kí hiệu:

  nlim hay u khi n + .n n

u a a 

   

 Chú ý:    lim limn n n

u u 

 .

2. Một vài giới hạn đặc biệt.

a) *

k

1 1 lim 0 , lim 0 , n

n   

n

b)  lim 0 nq  với 1q  . c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c. 3. Một số định lý về giới hạn của dãy số. a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có :

*

n v n

n n u w    và

      n

lim lim lim u n n v w a a    .

b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:

     lim lim lim n n n n u v u v a b    

 lim . lim .lim . n n n n u v u v a b 

   

 *n lim

lim , v 0 n ; 0

lim

nn

n n

uu a b

v v b

     

   lim lim , 0 ,a 0 n n n u u a u   

4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công

bội q ,với 1.q 

1lim lim 1

n

u S

q

 

5. Dãy số dần tới vô cực: a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực

  n u  khi n dần tới vơ cực

 n nếu un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:

lim(un)= hay un  khi n . b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là  khi

n nếu lim  n u   .Ký hiệu:

lim(un)= hay un khi n . c) Định lý:

o Nếu :    *nlim 0 u 0 , nnu     thì 1

lim

n u

 

o Nếu :  lim n u  thì

1 lim 0

n u

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

1. Giới hạn của dãy số (un) với    n

P n u

Q n

với P,Q là các đa thức: o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P

là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số và mẫu số cho nk để đi đến kết quả :

  0 0

lim n

a u

b

 .

o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0.

o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)= .

2. Giới hạn của dãy số dạng:    n f n

u

g n

 , f

và g là các biển thức chứa căn. o Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp. o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

Bài tập

DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Tính các giới hạn sau :

Tính 2 1

lim n

n

Ta có :

1 2

2 1 lim lim 2

n n n

n n

      

Tính 3 1

lim 2 1

n

n

Giải Ta có:

1 3

3 1 3 lim lim

12 1 2 2

n n n

n n

n

      

    

 

Tính  

 

2

2

3 2 5 lim

7 8

n n

n n

Giải Ta có

2

2 2 2

22

22

3 2 5 2 5 3

3 2 5 3 lim lim lim

1 87 87 8 7 7

n n

n n n n n

n nn n

n nn

   

   

    

Tính lim 3

3

21

523

n

nn



Giải Ta có

Ta có : lim 3

3

21

523

n

nn

 =lim

)2 1

(

) 52

3(

3

3

32

3



n n

nn n

=lim 2

3

2 1

52 3

3

32



n

nn

Tính 3

3 2

2 3 1 lim

n n

n n

    

 

Giải Ta có :

3 3

3 3 33

3 2 3 2 3

3 3

2 3

2 1 3

2 3 1 lim lim

2 1 3

lim 3 1

1

n n n

n n nn n

n n n n n

n n

n n

n

    

           

 

    

Tính 2

2

4 1 lim

3 2

n n

n

 

Giải Ta có

2

2 2

2 2

2

1 1 4

4 1 lim lim 2

33 2 2

n n n n n

n n

n

        

    

 

Tính 2

2

3 1 lim

1 2

n n

n

 

Giải Ta có :

2

2 2

2

2

1 3

3 1 lim lim

1 2 1 2

1 1 1 3

lim 0 1

2

n n n n n

n n

n n n n

n

   

  

    

  

Tính lim n

nn

21

14 2



BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

giải Ta có :

lim n

nn

21

14 2

 =lim

n

n n

n

21

1 4

2



=lim

2

1

2 1

1 1

4 2



n

n

Tính  

2

1 4 lim

3 2

n n

n

Giải

   

  

  

 

2

2

2

1 4

1 4 lim lim

3 23 2

1 1 4

1 4 5 lim

2 3 3 3

n n

n n n

nn

n

n

n

Tính lim(n- 1

732



n

nn )

giải Ta có :

2 2 23 7 ( ) ( 3 7) lim

1 1

7 2

2 7 lim lim 2

11 1

n n n n n n n

n n

n n

n

n

         

  

   

     

Tính 2

2 lim

1

n n

n n 

Giải

2

2 2

2

1 2

2 0 lim lim 0

1 11 1 1

n n n n

n n n

n n

      

    

Tính    

3 2

5

2 3 1 lim

1 4

n n

n

 

Giải

   

3 2

5 3 2

5 5

5

2 1 3 1

2 3 1 27 lim lim

11 4 4 4

n n n n n

n n

n

              

    

 

Tính  

2

2

2 2 lim

2 1

n n

n

 

Giải Ta có :

 

2

2 2

2 2

2 2 1

2 2 1 lim lim

1 22 1 2 1

n n n n n

n n n

              

Tính 2

4 2

2 4 lim

2 1

n n

n n

 

 

Giải Ta có :

2

2 2

4 2 2

2 4

1 4 2

2 4 2 lim lim 2

1 1 22 1 2

n n n n n

n n n

n n

         

   

Tính 5 2

5 3

1 lim

2 1

n n

n n

 

 

Giải Ta có :

5

5 2 3 5

5 3 5

2 5

1 1 1

1 lim lim 1

2 12 1 1

n n n n n

n n n

n n

        

      

 

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

Tính 2 3

lim 4

n n

n

          

Giải Ta có :

2 3 2 3 lim lim 0

4 4

n n nn

n 

                                

Tính 3 4 1

lim 4 2 1

n n

n n

 

 

Giải Ta có

3 1 4 1

4 43 4 1 lim lim 1

4 2 1 1 1 4 1

2 4

n n

n

n n

n n n n

n

                   

                 

Tính 5.2 5

lim 2

n

n

cos n

Giải Ta có :

5 2 5

5.2 5 2 lim lim 5

2 2

n

n n

n n

cos n

cos n

      

Tính 7.2 4

lim 2.3 4

n n

n n

Giải Ta có :

7 4 1

7.2 4 2 lim lim 1

2.3 4 3 4 2 1

4

n

n n n

n n n

n

      

      

   

Tính 1 1

5.2 3 lim

2 3

n n

n n 

Giải Ta có :

1 1

5.2 3 5.2 3 lim lim

2 3 2.2 3.3

2 3 5 1

3 1 lim

32 3 2 3

3

n n n n

n n n n

n

n

n

n

 

  

 

          

        

Tính 2

cos lim 3

n n

n

   

 

Giải Ta có :

2

cos cos lim 3 lim 3 3

n n n

n n

          

   

coscos 1 1 cos lim 0 lim 0

nn n mà nên

n n n n n    

Tính 2

3

cos5 lim 5

n n

n

   

 

Giải Ta có :

2

3

cos5 cos5 lim 5 lim 5 5

n n n

n n

          

  

cos5cos5 1 1 cos5 lim 0 lim 0

nn n mà nên

n n n n n    

Tính lim( )1 22 nnn 

Giải

Ta có : lim( )1 22 nnn 

=lim nnn

nnnnnn





22

2222

1

)1)(1(

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

=lim nnn

nnn





22

22

1

)()1(

=lim nnn

n



22 1

1

=lim 2

1

1 1

1 1

1 1

2



nn

n

Tính  2 2lim 1n n n   Giải Ta có :

    

2 2

2 2 2 2

2 2

lim 1

1 1 lim

1

n n n

n n n n n n

n n n

  

      

  

2 2

2

1 1

1 1 lim lim

21 11 1 1

n n n

n n n n

n n

       

       

 

Tính    2lim 2 3n n n Giải

    

  

      

  

   

  

2

2 2

2

2 2

2

lim 2 3

2 3 2 3

lim

2 3

2 3 lim

2 3

n n n

n n n n n n

n n n

n n n

n n n

   

       

   

2

2

2 3 2 3 lim lim

2 3 2 3 1 1

n n

n n n n

n n

   

   

2

3 2

2 lim 1

1 12 3 1 1

n

n n

Tính  2 2lim 1 2n n n   Giải Ta có :

    

2 2

2 2 2 2

2 2

lim 1 2

1 2 1 2 lim

1 2

n n n

n n n n n

n n

  

      

  

   2 2

2 2 2 2

2 2

1 2 3 lim lim

1 2 1 2

3 3 lim

21 2 1 1

n n n n

n n n n

n

n n n

            

   

     

 

Tính 2 21 4 2

lim 3

n n n

n

   

Giải Ta có

     

    

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

1 4 2 lim

3

1 4 2 1 4 2 lim

3 1 4 2

1 4 2 lim

3 1 4 2

n n n

n

n n n n n n

n n n n

n n n

n n n n

   

        

    

    

    

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

   2

2 2

3 1 lim

3 1 4 2

n n

n n n n

   

    

2

2

2

2 2

1 1 3

lim 3 3 1 1 2

1 1 4

n n n

n n n n n

         

         

  

Tính  2 2lim 1 2n n n   Giải Ta có :

   

  

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

1 2 lim 1 2 lim

1 2

1 2 3 lim lim

1 2 1 2

3 3 lim

21 2 1 1

n n n n n n

n n

n n n n

n n n n

n

n n n

      

  

     

     

   

     

 

Tính   3 3lim 2n n Giải

 

   

 

 

        

 

   

3 3

2 3 23 3 3 33

2 3 23 33

lim 2

2 2 2.

lim

2 2.

n n

n n n n n n

n n n n

     

 

  

   

  

   

3 3

3 3

2 3 23 33

2 3 23 33

2

lim

2 2.

2 lim

2 2.

n n

n n n n

n n

n n n n

  2

233 33

2 lim 0

2 2.n n n n

     

Chứng minh các dãy số có số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0 :

sin

1 n

n u

n n 

Giải Ta có :

sin sinsin 1

1 1

1 sin lim 0 lim 0

1

n nn

n nn n n n

n mà nên

n n n

    

  

  2

1

2 nu

n

 

Giải Ta có :

        2 2

1 1 1 1 lim 0 lim 0

2 2

n n

mà nên n n n n

      

 

1

! nu

n 

Giải Ta có

1 1 1 1 0 lim 0

! ! mà lim nên

n n n n   

21 cos

2 1 n

n u

n

 

Giải Ta có :

2 21 cos 2 1 cos 2 1

2 1 22 1 2

n n vì nên

n n nn n

     

 

21 1 cos lim 0 lim 0

2 1

n mà nên

n n

  

5

3 1

n

n n u 

Giải Ta có :

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

5 5 5

3 1 3 3

5 5 lim 0 lim 0

3 3 1

n n n

n n

n n

n mà nên

     

  

    

 

2

sin 2 n

n n u

n n

 

Giải

 2

2

sin 2 1 1

1

1 sin 2 lim 0 lim 0

n n n

n n n n n

n n mà nên

n n n

   

 

  

  2

3

1 sin cos

2 1

n

n

n n u

n

  

Giải Ta có :

 

 

12 3

3 3 3

1 2

3

3

1 sin cos 2 1 1

2 1 2

1 sin cos1 lim 0 lim 0

2 1

n

n

n n

nn n n

n n mà nên

n n

        

  

     

 

  1 1

1 1

2 3

n

n n n u

 

  

Giải Ta có :

 

 

1 1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 1 1

2 3 2 3 2 2 2

11 1 lim 0 lim 0

2 2 3

n

n n n n n n n

nn

n n mà nên

     

 

      

     

 

5 n

n cos n u

n n n

 

Giải Ta có :

  5 1 1

1

1 5 lim 0 lim 0

n cos n n

n n n n n n

n cos n mà nên

n n n n

   

 

  

 22 1nu n n   Giải Ta có :

    

 

2 2

2

2

2 2

2 2 2

2 1 1 2 1

1

2 1 2 2

1 1

2 1

2

n n n n n n

n n

n n

n n n n n n

n n

      

 

    

    

 

Mà  21lim 0 lim2 1 0nên n n n    

1nu n n  

Giải Ta có :

  

1

2

1 1 1

1

1 1 1 1 1

21 2

n n n n n n

n n

n n

nn n n n n

      

 

         

    

Mà   1

21 lim 0 lim 1 0nên n n

n

      

 

Tìm giới hạn của dãy số  nu với

3 3 3

1 1 1 ... .

1 2 nu

n n n n    

  

Giải Ta có số hạng tổng quát là :

  3 3 3

1 1 1,2,...,

1 1 k

n u k n

n k n n     

   Nên

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

3

1 0

1 lim 0 lim 0

k

k

n u

nn

mà nên u n

  

 

Cho dãy số  nu xác định bởi

1

2

1

1

4

2

n n n

u

u u u n

 

     

CMR

a)   1

0 1 4

nu 

b) 1 3

4

n

n

u

u

 

Từ đó suy ra lim 0nu 

Giải Câu a) SD phương pháp quy nạp

Với n = 1 ta có 1 1 1

0 4 4

u   (đúng)

Giả sử (1) đúng với 1n k 

Nghĩa là 1

0 4

ku  (đúng)

Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng với n= k +1. Thật vậy, ta có :

2

2

1

1 1 1 1

2 16 16 4 16

k k k k

u u u u

         

 

Vì 1

0 4

ku  nên 1 3 1

0 16 4

ku   

Vậy (1) luôn đúng với mọi n.

Câu b)

Ta có :

2

1 1 1 1 32 2 4 2 4

n n

n n

n n

u u

u u

u u

       (ĐPCM).

Vậy 1 3

4 n nu u 

Từ đó suy ra

2 1

2

3 2 1

1 1

1 1

3

4

3 3

4 4

............................

3 3 1 3

4 4 4 4

n n

n n

u u

u u u

u u u

 

 

   

     

      

         

1 1 3

lim 0 4 4

lim 0

n

nu

  

   

 

Cho dãy số  nu xác định bởi

1

1

10

n n

u

u u

 



CMR

a)  1 , 1nu n 

b) 1 1

1 2

n n

u u 

  

c) Tìm lim nu

Giải Câu a) SD phương pháp quy nạp Với n =1 ta có : 1 10 1u   (đúng)

Giả sử (1) đúng với .  n k k 1  Nghĩa là 1ku 

Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng với n= k+1, hay 1 1ku  

Thật vậy ta có :

1 11 1k k k ku u màu nên u   

Vậy (1) luôn đúng với mọi n.

Câu b) theo bài ra ta có:

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

   1

1

1 1 1 1

1

1 1

21

n n

n n

n n

n

n n

n

u u

u u u u

u

u u

u

      

   

Câu c)

Đặt

1 1 11 10 1 9 1n n n nv u v và v u        

Theo câu b ta có :

1

1

2 n nv v 

Vậy

2 1

2

3 2 1

1 1

1 1

1

2

1 1

2 2

............................

1 1 1 9

2 2 2

n n

n n

v v

v v v

v v v

 

 

   

     

      

         

  1

1 lim9 0 lim 0 lim 1 0

2

lim 1

n

n n

n

nên v u

u

  

       

 

Cho dãy số  nu xác định bởi

1

1

5

2 6

3 n n

u

u u

   

 

Gọi  nv là dãy số xác định bởi 18n nv u  a) CMR  nv là cấp số nhân lùi vô hạn. b) Tìm lim nu .

Giải Câu a) theo bài ra ta có:

1 1

1

2 2 6 18 12

3 3

2 12

3

n n n n

n n

u u u u

v u

 

     

  

Mặt khác 18n nu v 

Vậy  1 2 2

18 12 3 3

n n nv v v    

Vậy  nv là CSN lùi vô hạn với công bội 2

3 q  .

Câu b)

Vì 1 2

3 n nv v  . Nên

2 1

2

3 2 1

1 1

1 1

2

3

2 2

3 3

.............................

2 2 2 13

3 3 3

n n

n n

v v

v v v

v v v

 

 

   

     

      

         

1 2

lim13 0 lim 0 3

lim 18

n

n

n

nên v

u

  

    

  

Cho dãy số xác định bởi

 

1

1

2

1 1

2

n n

u

u u n

   

  

Tính lim nu .

Giải Ta nhận xét

1 2 3 4 5

3 5 9 17 2, , , ,

2 4 8 16 u u u u u    

Dự đoán   1

1

2 1 1

2

n

n n u

 

Ta chứng minh dự đoán bằng quy nạp

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

Kiểm tra với n=1, ta có 1 2u  đúng với bài

cho

- Giả sử (1) đúng với  1n k k  . Nghĩa là 1

1

2 1

2

k

k k u

 

- Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1)

đúng với n = k+1.hay 1 2 1

2

k

k k u 

 

- Thật vậy ta có: 1

1 1

1 1

2 1 1

1 2.2 1 2 12 2 2 2.2 2

k

k k k

k k k k

u u



 

 

      

Vậy

1

1 1

1 1

1 2 1

2 1 2 lim lim lim 1

2 2

n

n n

n n n u

 

 

       

Cho dãy số  nu xác định bởi

 

1

1

1

2

1 1

2 n

n

u

u n u

 

   



Tính lim nu

Giải

Nhận xét 1 2 3 4 1 2 3 4

, , , ... 2 3 4 5

u u u u   

Dự đoán  1 1

n

n u

n 

Ta chứng minh dự đoán bằng quy nạp

- Với n=1, ta có : 1 1

2 u  (đúng)

- Giả sử (1) đúng với  1n k k  .

Nghĩa là 1

k

k u

k 

- Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1)

đúng với n = k+1. Hay 1 1

2 k

k u

k 

 

- Thật vậy theo bài ra ta có:

1

1 1 1

2 2 2

1

k

k

k u

ku k

k

   

  

Suy ra 1

n

n u

n 

 đúng với mọi 1n 

Vậy lim lim lim 1 11

1 n

n n u

n n

n

     

   

Tính tổng 1 1

2 2 1 ... 22

S      

Giải

Dãy số vô hạn 1 1

2 2 1 ... 22

     là

một CSN lùi vô hạn với công bội

2 1 1

2 2 q     

Do đó 1 2 2 2

11 2 11 2

u S

q   

 

Tính tổng

1 1 1 1 1

1, , , ,..., ,... 2 4 8 2

n

S

  

      

Giải

Dãy số vô hạn

1 1 1 1 1

1, , , ,..., ,... 2 4 8 2

n  

     

Là 1 CSN lùi vô hạn với 1

2 q  

Nên 1 1 2

11 3 1

2

u S

q   

 

Tìm dạng tổng quát của CSN lùi vô hạn

 nu . Biết tổng của nó bằng 32 và 2 8u  Giải

Theo bài ra ta có :  1 32 1 1

u S

q  

Mặt khác 2 1 1 8

8u u q u q

    thế vào (1)

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

ta có

2

1

8

1 32 4 4 1 0 16

1 2

q q q q u

q         

vậy số hạng tổng quát là

1 1

16 2

n

nu

  

    

DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC

Tính lim(2n 3 +3n-1)

giải

Ta có lim(2n 3 +3n-1)=lim n

3 (2+

32

13

nn  )=+

Tính lim(-2n 2 +n n -n+4)

Giải

Ta có : lim(-2n 2 +n n -n+4)

=limn 2 (-2+  )

411 2nnn

.

Tính 33lim 5n n

Giải Ta có :

33 3

2

5 lim 5 lim 1n n n

n

       

 

Tính 2lim 1n n 

Giải

Ta có

2

2

1 1 lim 1 lim 1n n x

n n       

Tính 3 2lim 2 1n n 

Giải Ta có :

3 2

3

1 1 lim 2 1 lim 2n n n n

n n       

Tính  2lim 1n n n   Giải Ta có :

   2 2 2 1 1

lim 1 lim 1n n n n n n

           

 

Tính 33

lim 2 15

n n

n

Giải Ta có :

3

3 2

3

2 3

3 1

3 lim lim

2 152 15

n n n n

n n

n n

       

    

 

2

2 3 2 3

3 lim 1 1

2 15 2 15 lim 0 0

n

và n n n n

      

   

        

Tính 2

2

11 lim

3 1

n n

n n

 

 

Giải Ta có :

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

2

2 2

2 2

2 3

1 11 1

11 lim lim

3 13 1 1

n n n n n

n n n

n n

         

     

 

2

2 3 2 3

1 11 lim 1 1

3 1 3 1 lim 1 0 1 0

n n

và n n n n

      

          

Tính lim( )1 22 nnn 

Giải

Ta có :lim( )1 22 nnn 

=limn(  ) 1

1 1

1 2 nn

Tính 1

lim 2n

n

   

 

Giải Ta có :

1 1 1 lim 2 lim2 1

2

n n

nn n

           

   

Tính 3

2

3 5 1 lim

4

n n

n

 

Giải Ta có :

3

3 2 3

2 3

3

1 1 3 5

3 5 1 lim lim

1 44

n n n n n

n n

n n

         

    

 

2 3

3 3

1 1 lim 3 5 3 0

1 4 1 4 lim 0 0

n n

và n n n n

       

   

        

Tính 2 2lim

1 n

n

   

 

Giải Ta có :

3 2 2

3

3

3

2 3

2 2 lim lim

1 1

1 2 1

lim 1 1

n n n

n n

n n n

n n n

     

  

    

     

   

3

2 3 2 3

1 2 lim 1 1 0

1 1 1 1 lim 0 0

n n

và n n n n

       

   

        

Tính  

 

3

2

2 1 lim

2 3

n n

n n

Giải 3

3 3 2 3

22

2 33

2 1 2 1 1

2 1 lim lim lim

1 1 32 32 3

n n

n n n n n

n nn n

n n nn

   

     

    

2 3

2 3 3 2

2 1 lim 1 1 0

1 1 3 1 3 1 lim 0 0

n n

và n n n n n n

       

   

          

Tính 2 2

lim 1

n n

   

 

Giải 3 2

2

3

3

3

2 3

2 2 lim lim

1 1

1 2 1

lim 1 1

n n n

n n

n n n

n n n

     

  

    

     

   

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

3

2 3 2 3

1 2 lim 1 1 0

1 1 1 1 lim 0 0

n n

và n n n n

       

   

        

Tính   

3 23

2 1 1 3 lim

7 5

n n

n n

 

 

Giải Ta có :

   3 23

3 3 4 6

1 1 2 3

2 1 1 3 lim lim

1 7 57 5

n n n n

n n

n n n

            

   

3 3 4 6 3 4 6

1 1 lim 2 3 6 0

1 7 5 1 7 5 lim 0 0

n n

và n n n n n n

          

           

Tính lim 14

3.25

 n

nn

Giải

Ta có :lim 14

3.25

 n

nn

=lim )

5

1 )

5

4 ((5

)) 5

3 .(21(5

n

nn

nn

=lim  

n

n

n

5

1 )

5

4 (

) 5

3 .(21

(vìlim(1+2.( 1)) 5

3 n >0,lim(( 0)

5

1 )

5

4 

n

n

và 0 5

1 )

5

4 ( 

n

n )

Tính  2 2lim 1 2 1n n   Giải Ta có :

    

 

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

lim 1 2 1

1 2 1 1 2 1 lim

1 2 1

1 2 1 2 lim lim

1 2 1 1 2 1

n n

n n n n

n n

n n n

n n n n

  

      

  

      

     

2

2

2

2 4 2 4

2 1

lim 1 1 2 1

n n

n n n n n

    

     

     

2

2 4 2 4 2 4 2 4

2 lim 1 1 0

1 1 2 1 1 1 2 1 lim 0 0

n

và n n n n n n n n

               

 

       

Tính 1

lim 1n n 

Giải Ta có :

   1 1

lim lim 1 1 1

1 1 lim lim 1 1

1

n n

n n n n n n

n n n

n n n

  

     

         

   

Tính  1lim 2 4 1n n  Giải Ta có :

 1 4

lim 2 4 1 lim 2 1 4

1 1 1 lim4

2 4 4

n n n n

n n

n

         

             

     

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

lim4

1 1 1 1 lim 0

2 4 4 4

n

n n

   

              

     

Tính 5 2

lim 1 2.2

n

n

Giải Ta có :

2 5 1

5 2 5 lim lim

1 2.2 1 2 5 2.

5 5

n

n n

n n

n

n

       

         

2 lim 1 1 0

5

1 2 1 2 lim 2. 0 2. 0

5 5 5 5

n

n n

n n và

      

                     

Tính 12 3.5 3

lim 3.2 7.4

n n

n n

  

Giải Ta có :

1

2 1 5 2. 3 3.

5 52 3.5 3 lim lim

3.2 7.4 2 4 5 3. 7.

5 5

n

n

nn n

n n n n

n

             

               

2 1 lim 2. 3 3. 3

5 5

2 4 2 4 lim 3. 7. 0 3. 7. 0

5 5 5 5

n

n

n n n n

              

          

                     

Tính lim nu

Với 1 1 1

1 ... 2 3

nu n

    

Giải Ta có :

Vì 1

n là số nhỏ nhất trong n số

Nên

1 1 1 1 1 ... .nu n n

n n n n n       

Mà lim lim nn u  

Tính 2 3

lim 2

n

n

n

n

Giải

3 2. 1 2 3 3

lim lim 2 2

3 3 3

n

n n

n n

n

n

n

n

n n

       

         

lim 0 3

lim 2. 1 1 3

2 2 lim 0 0

3 3 3 3

n

n

n n

n n

n

n

n n và

       

      

                   

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Tính các giới hạn sau :

Tính  2 2

lim 5 1 x

x 

 

Giải Ta có :

   22 2

lim 5 1 2 5 1 2 x

x 

      

Tính  2 2

lim 5 6 x

x 

 

Giải

 2 2 2

lim 5 6 2 5 6 3 x

x 

      

Tính 3

1 lim

2x

x

x

Giải

3

1 3 1 2 lim

2 3 2 5x

x

x

   

 

Tính 3

3 lim

1x

x

x

Giải

Ta có : 3

3 lim 0

1x

x

x

 

Tính 3

2 lim

2 1x

x

x

Giải

3

2 2.3 2 8 lim

2 1 2.3 1 7x

x

x

   

 

Tính 2

3

2 3 lim

2x

x x

x

 

Giải Ta có :

2 2

3

2 3 3 2.3 3 lim 0

2 3 2x

x x

x

     

 

Tính  

2 4

2 lim

4x

x

x

Giải Ta có :

 

     

4

2 2

4

lim 2 6 0

lim 4 0 4 0 4

x

x

x

x và x x

    

     

Nên  

2 4

2 lim

4x

x

x

  

Tính  

2 2

2 lim

2x

x

x

Giải Ta có :

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

 

     

2

2 2

2

lim 2 4 0

lim 2 0 2 0 2

x

x

x

x và x x

    

     

Nên  

2 2

2 lim

2x

x

x

  

Tính  

2 3

5 lim

3x

x

x

Giải

 

     

3

2 2

3

lim 5 2 0

lim 3 0 3 0 3

x

x

x

x va x x

     

    

Nên  

2 3

5 lim

3x

x

x

  

Tính  

3

2 2

1 lim

2x

x

x

Giải Ta có :

   

     

33

2

2 2

2

lim 1 2 1 7 0

lim 2 0 2 0 2

x

x

x

x và x x





         

      

Nên  

3

2 2

1 lim

2x

x

x

  

Tính  3 2lim 2 1 x

x x x 

   

Giải Ta có :

 

 

3 2

3

2 3

lim 2 1

1 2 1 lim 1

x

x

x x x

x x x x





   

         

 

Tính  2lim 1 x

x x 

 

Giải Ta có :

 2 2 2 1 1

lim 1 lim 1 x x

x x x x x 

         

 

Tính 2

1 lim

1x

x

x

Giải Ta có :

2

2

2

1 1 1

lim lim 0 11

1 x x

x x x

x

x

 

 

   

Tính 2 20

1 1 lim 1

1x x x  

   

Giải Ta có :

2

2 2 2 20 0

2

2 2 20 0

1 1 1 1 1 lim 1 lim

1 1

1 1 lim lim 1

1 1

x x

x x

x

x x x x

x

x x x

 

 

        

    

     

 

Tính   2 3

5

1 1 2 2 lim

1x

x x x

x

  

Giải Ta có :

  2 3 5

5

2 3 2

5

5

1 1 2 2 lim

1

1 1 2 1 2

lim 2 1

1

x

x

x x x

x

x x x x

x x





  

       

       

 

Tính   2 4

6

1 1 2 lim

1x

x x x

x

  

Giải Ta có :

  2 4 6

6

2 4 3

6

6

1 1 2 lim

1

1 1 2 1 1

lim 2 1

1

x

x

x x x

x

x x x x

x x





  

       

       

 

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

Tính 2 1

lim 1x

x

x

Giải Ta có :

2 2 2

1 1 1 1

1 lim lim lim 1

111 11

x x x

x x x x

x x

xx

  

  

       

 

Tính 22 1

lim 2x

x

x

Giải Ta có :

2 2 2

1 1 2 2

2 1 lim lim lim 2

222 11

x x x

x x x x

x x

xx

  

   

        

 

Tính  2lim 1 x

x x x 

  

Giải Ta có :

 2 2

2

1 1 lim 1 lim 1

1 1 lim 1 1

x x

x

x x x x x x x

x x x

 



         

 

       

 

Tính  2lim 3 1 x

x x x 

  

Giải Ta có :

 2 2

2

3 1 lim 3 1 lim 1

3 1 lim 1 1

x x

x

x x x x x x x

x x x

 



         

 

       

 

Tính  2lim 1 x

x x x 

  

Giải

Ta có :

    

 

2

2 2

2

2 2

2

2

2

lim 1

1 1 lim

1

1 1 lim lim

1 11 1

1 1

1 lim

21 1 1 1

x

x

x x

x

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x

x x x x x

x x

x x

x x x





 



  

      

  

     

     

   

        

 

Tính  2 2lim 2 x

x x x 

  

Giải

    

 

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

lim 2

2 2 lim

1 2

2 2 lim lim

1 21 2 1 1

2 1

1 lim

21 2 1 1

x

x

x x

x

x x x

x x x x x x

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x x





 



  

      

  

     

     

   

    

     

Tính  2 2lim 2 x

x x x 

  

Giải Ta có :

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

    

 

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

lim 2

2 2 lim

1 2

2 2 lim lim

1 21 2 1 1

2 1

1 lim

21 2 1 1

x

x

x x

x

x x x

x x x x x x

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x x





 



  

      

  

     

     

   

     

      

Tính 0

1 1

lim 1

1 x

x

x

Giải Ta có :

0 0 0

1 1 1

1 lim lim lim 1

1 1 1 1

x x x

x xx x

x x

x x

  

 

    

 

Tính 2 3

lim 1 3x

x

x

Giải Ta có :

3 2

2 3 2 lim lim

11 3 3 3

x x

x x x

x x

x

 

       

    

 

Tính 3 2

6 4

2 1 lim

3 2 1x

x x

x x

 

 

Giải Ta có :

3

3 2 3

6 4 6

2 6

3

3

2 6

1 1 2

2 1 lim lim

2 13 2 1 3

1 1 2

lim 0 2 1

3

x x

x

x x x x x

x x x

x x

x x

x x x

 



       

      

 

  

    

 

Tính 3 2

2 1 lim

3 2x

x x

x x

 

Giải Ta có :

3 2

3

1 2

2 1 2 lim lim

3 2 31 2 3

x x

x x xx

x x x

x x x x

 

   

    

      

 

Tính 2

2 3 lim

2 3x

x

x

Giải Ta có :

2

3 2

2 3 2 lim lim 2

3 22 3 2

x x

x x x

x x

x

 

         

 

Tính   

4 2

3

1 lim

1 1x

x x

x x

 

 

Giải Ta có :

  

4

4 2 2 4

3 4

3

1 1 1

1 lim lim 1

1 11 1 1 1

x x

x x x x x

x x x

x x

 

        

       

  

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

Tính 2

3 1 lim

1 2x

x

x x

 

Giải

Ta có

2

2

2

1 3

3 1 lim lim

11 2 1 2

1 3

lim 3 1

1 2

x x

x

x x x

x x x x

x

x x

x x

 



     

   

   

          

Tính 2

14 lim

1x

x

x x

 

Giải

2

2

2

14 1

14 lim lim

11 1

14 1

1 lim

21 1 1

x x

x

x x x

x x x x

x

x x

x x

 



     

   

   

        

 

GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH 0

0

     

GIỚI HẠN MỘT BÊN

Tính 23

3 lim

2 3x

x

x x

 

Giải Ta có :

  

 

23 3

3

3 3 lim lim

2 3 1 3

1 1 lim 3

1 4

x x

x

x x

x x x x

x x

 



  

   

      

Tính 2

21

2 3 lim

2 1x

x x

x x

 

 

Giải Ta có :

  

 

 

2

21 1

1

1 32 3 lim lim

12 1 2 1

2

3 4 lim 1

1 3 2

2

x x

x

x xx x

x x x x

x x

x

 

   

      

 

    

   

 

Tính 2

21

2 lim

1x

x x

x

 

Giải Ta có :

     

 

2

21 1

1

1 22 lim lim

1 1 1

2 3 lim 1

1 2

x x

x

x xx x

x x x

x x

x

 

   

  

    

Tính  

3

0

1 1 lim x

x

x

 

Giải

     

3 2

0 0

3 31 1 lim lim 3 0 x x

x x xx x

x x 

     

Tính 3

22

8 lim

11 18x

x

x x

 

Giải Ta có :

     

 

23

22 2

2

2

2 2 48 lim lim

11 18 2 9

2 4 12 lim 2

9 11

x x

x

x x xx

x x x x

x x x

x

 

   

   

     

Tính  

3

0

3 27 lim x

x

x

 

Giải Ta có :

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

 

   

3 3 2

0 0

2

0

3 27 9 27 27 27 lim lim

9 27 lim 27 0

x x

x

x x x x

x x

x x x x

x

 

      

     

Tính 3 2

3 23

2 5 2 3 lim

4 13 4 3x

x x x

x x x

  

  

Ta có :

     

3 2

3 23

2 2

223 3

2 5 2 3 lim

4 13 4 3

3 2 1 2 1 11 lim lim

4 1 173 4 1

3

x

x x

x x x

x x x

x x x x x

x xx x x

x

 

  

  

       

   

 

Tính 31

1 3 lim

1 1x x x  

    

Giải Ta có :

  3 21 1 1 3 1 3

lim lim 1 1 1 1 1x xx x x x x x 

                 

           

 

2 2

2 21 1

221 1

1 3 2 lim lim

1 1 1 1

1 2 2 lim lim 1 1

11 1

x x

x x

x x x x

x x x x x x

x x x x

x xx x x

 

 

                

         

    

Tính 5

5 lim

5x

x

x

Giải Ta có :

    

5 5

5 55 lim lim 2 5 5

5 5x x

x xx x

x x 

     

 

Tính 2

2

5 3 lim

2x

x

x

 

Ta có :

     

     

    

2 2 2

2 2 2

2

2 22 2

22

5 3 5 35 3 lim lim

2 2 5 3

2 25 9 lim lim

2 5 3 2 5 3

2 2 lim 2

35 3

x x

x x

x

x xx

x x x

x xx

x x x x

x x

x

 

 



     

   

    

     

      

 

Tính 1

1 lim

3 2x

x

x

 

Giải Ta có :

     

        

1 1

1 1

1 3 21 lim lim

3 2 3 2 3 2

1 3 2 1 3 2 lim lim

1 1 1

x x

x x

x xx

x x x

x x x x

x x x

 

 

   

     

       

  

  1

3 2 lim 2 1

1x

x x

x

     

Tính 2

2 lim

7 3x

x

x

 

Giải Ta có :

     2 2

2 7 32 lim lim

7 3 7 3 7 3x x

x xx

x x x 

   

     

    

2 2

2 7 3 lim lim 7 3 6

2x x

x x x

x 

         

Tính 1

3 2 lim

1x

x

x

 

Ta có :

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

     

    

1 1

1 1

3 2 3 23 2 lim lim

1 1 3 2

1 1 1 lim lim 1

43 21 3 2

x x

x x

x xx

x x x

x x

xx x

 

 

     

   

     

   

Tính 27

2 3 lim

49x

x

x

 

Giải Ta có :

     

 

    

   

    

27

27

27

7

7

2 3 lim

49

2 3 2 3 lim

49 2 3

4 3 lim

49 2 3

7 lim

7 7 2 3

1 1 lim 7

567 2 3

x

x

x

x

x

x

x

x x

x x

x

x x

x

x x x

x x x

 

    

  

  

  

  

   

     

  

Tính 2 2

23

2 6 2 6 lim

4 3x

x x x x

x x

    

 

Giải Ta có :

     

2 2

23

2 2 2 2

3 2 2 2

2 6 2 6 lim

4 3

2 6 2 6 2 6 2 6 lim

4 3 2 6 2 6

x

x

x x x x

x x

x x x x x x x x

x x x x x x

    

 

          

      

 

  

   

    

2 2

3 2 2 2

3 2 2

3 2 2

2 6 2 6 lim

4 3 2 6 2 6

4 12 lim

1 3 2 6 2 6

4 1 lim 3

31 2 6 2 6

x

x

x

x x x x

x x x x x x

x

x x x x x x

x x x x x x

     

      

  

      

     

     

Tính 2

2 2 lim

7 3x

x

x

 

 

             

 

2

2

2 2

2 2 lim

7 3

2 2 7 3 2 2 lim

7 3 7 3 2 2

2 7 3 7 3 3 lim lim 2

22 22 2 2

x

x

x x

x

x

x x x

x x x

x x x x

xx x

 

 

 

      

     

         

   

Tính 2

3 2 5 lim

2 2x

x

x

 

 

Giải

       

2

2

3 2 5 lim

2 2

3 2 5 3 2 5 2 2 lim

2 2 3 2 5 2 2

x

x

x

x

x x x

x x x

 

 

      

     

     

     

   

2

2

2

4 2 2 2 lim

2 3 2 5

2 2 2 2 lim

2 3 2 5

2 2 2 4 lim 2

33 2 5

x

x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x

   

  

    

  

       

 

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

Tính 3

1 lim

1x

x

x

Giải Ta có :

3

1 3 1 lim 2

1 3 1x

x

x

   

 

Tính 4

2 1 lim

1x

x

x

Giải Ta có :

4

2 1 2.4 1 lim 3

1 4 1x

x

x

   

 

Tính 0

1 1 lim 1

1x x x

   

 

Giải Ta có :

0 0 0

1 1 1 1 lim 1 lim lim 1

1 1 1x x x

x

x x x x x    

        

   

Tính

  

2

22

4 lim

1 2x

x

x x 

 

Giải Ta có :

     

  

  

  

   

2

2 22 2

22

22

2 24 lim lim

1 2 1 2

2 2 lim

1 2

2 2 lim 0 2

1

x x

x

x

x xx

x x x x

x x

x x

x x x

x

 

 

  

   

   

 

      

Tính 3

21

1 lim

1x

x

x 

Giải Ta có :

     

  

23

21 1

2

1

1 11 lim lim

1 11

1 1 lim 0

1

x x

x

x x xx

x xx

x x x

x

 

 

   

 

    

Tính 0

3 lim

2x

x x

x x 

Giải Ta có :

   0 0

0

33 lim lim

2 2

3 3 3 2 lim

22 2

x x

x

x xx x

x x x x

x

x

 

 

 

 

   

Tính 3

2 1 lim

3x

x

x

Giải Ta có :

 

  3

3

lim 2 1 5

lim 3 0 3 0 3

x

x

x

x và x x

   

     

Nên 3

2 1 lim

3x

x

x

  

Tính 2

2 1 lim

2x

x

x

Giải Ta có :

 

  2

2

lim 2 1 3 0

lim 2 0 2 0 2

x

x

x

x và x x

    

     

Nên 2

2 1 lim

2x

x

x

  

Tính 2

3 7 lim

2x

x

x

Giải

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

Ta có :

 

  2

2

lim 3 7 1 0

lim 2 0 2 0 2

x

x

x

x và x x

     

     

Nên 2

3 7 lim

2x

x

x

  

Tính 2

2

2 lim

2x

x

x

Giải Ta có :

 

 

2

2

2

lim 2 2 0

lim 2 0 2 0 2

x

x

x

x và x x

     

     

Nên 2

2

2 lim

2x

x

x

  

Tính  2

3 6 lim

2x

x

x 

Giải

Ta có :  3 6 0 2x x     Nên

   

   2 2 2

3 6 3 2 lim lim lim 3 3

2 2x x x

x x

x x       

    

 

Tính  2

3 6 lim

2x

x

x 

Giải

Ta có :  3 6 0 2x x     Nên

   

   2 2 2

3 6 3 2 lim lim lim 3 3

2 2x x x

x x

x x       

       

 

Tính  3

3 9 lim

3x

x

x 

Giải

Ta có :  3 9 0 3x x    

Nên

   

   3 3 3

3 9 3 3 lim lim lim 3 3

3 3x x x

x x

x x       

    

 

Tính  3

3 9 lim

3x

x

x 

Giải

Ta có :  3 9 0 3x x     Nên

   

   3 3 3

3 9 3 3 lim lim lim 3 3

3 3x x x

x x

x x       

       

 

Tính  

2

1

3 2 lim

1x

x x

x 

 

Giải

Ta có :  1 0 1x x     Nên

   

    

   

2

1 1

1

1 23 2 lim lim

1 1

lim 2 1

x x

x

x xx x

x x

x

 

   

 

   

  

    

Tính  

2

1

3 2 lim

1x

x x

x 

 

Giải

Ta có :  1 0 1x x     Nên

   

  

   

2

1 1

1

1 23 2 lim lim

1 1

lim 2 1

x x

x

x xx x

x x

x

 

   

 

   

 

  

Tinh 2 2

lim 1x

x x

x

 

Giải Ta có :

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

  

    

2 1 22 lim lim

1 1

1 2 lim lim 2

1

x x

x x

x xx x

x x

x x x

x

 

 

   

  

       

 

Tính 2 5 2

lim 2 1x

x x

x

 

Giải Ta có :

 

   

2 25 2 5 2 lim lim

2 1 2 1

9 1 lim

2 4 4 2 1

1 9 1 lim

2 4 4 2 1

x x

x

x

x x x x

x x

x

x

x x x x

 





    

  

      

  

        

  

Tính 2 4

0

3 lim

2x

x x

x

Giải

Ta có :

22 4

0 0

33 lim lim

2 2x x

x xx x

x x 

 

Xét 2 2 2

0 0 0

3 3 3 3 lim lim lim

2 2 2 2x x x

x x x x x

x x    

     

2 2 2

0 0 0

3 3 3 3 lim lim lim

2 2 2 2x x x

x x x x x

x x    

        

vậy không tồn tại 2 4

0

3 lim

2x

x x

x

 .

Tính 2 4

0

2 lim

2x

x x

x

Giải

Ta có :

22 4

0 0

1 22 lim lim

2 2x x

x xx x

x x 

 

Xét 2 2 2

0 0 0

1 2 1 2 1 2 1 lim lim lim

2 2 2 2x x x

x x x x x

x x    

     

2 2 2

0 0 0

1 2 1 2 1 2 1 lim lim lim

2 2 2 2x x x

x x x x x

x x    

        

vậy không tồn tại 2 4

0

2 lim

2x

x x

x

 .

Cho hàm số

 

 

 

 

2

2

9 3 3

1 3

9 3

x x

f x x

x x

     

  

 

Tính       33 3

lim , lim , lim xx x

f x f x f x    

Giải Ta có :

  2 3 3

lim lim 9 0 x x

f x x   

  

  2 3 3

lim lim 9 0 x x

f x x   

  

  3

lim 0 x

f x 

Cho hàm số

   

 

3

1 3 , 1

1 1

2 1

x x xf x

mx x

  

     

Với giá trị nào của m thì hàm số có giới hạn khi 1x ? Tìm giới hạn này. Giải Ta có :

 

     

  

3 1 1

2

2 21 1

2 1

1 3 lim lim

1 1

1 21 3 lim lim

1 1 1 1

2 lim 1

1

x x

x x

x

f x x x

x xx x

x x x x x x

x

x x

 

 

 

 

    

  

     

     

  

 

    1 1

lim lim 2 2 x x

f x mx m   

   

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

Để hàm số có giới hạn 1x khi

    1 1

lim lim

1 2

1

x x f x f x

m

m

   

  

  

Và   1

lim 1 1 x

f x khi m 

  

Đơn vị chủ quản: CÔNG TY TNHH THƯƠNG MẠI ĐIỆN TỬ THIÊN THI
Địa chỉ: 41-43 Trần Cao Văn, P6, Q3, HCM
giấy phép MXH: 102/GXN - TTĐT