Thành viên idoc2012

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ

- 12 tháng trước
Chia sẻ
/25 trang
1,000 VNĐ
Tải xuống 1,000 VNĐ (25 trang)
Thành viên idoc2012

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ

- 12 tháng trước
18,781
Báo lỗi

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Nội dung
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới

hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có

thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:

 lim 0 hay u 0 khi n + .nunn    

b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực

( n ), nếu  lim 0. n n

u a 

  Kí hiệu:

  nlim hay u khi n + .n n

u a a 

   

 Chú ý:    lim limn n n

u u 

 .

2. Một vài giới hạn đặc biệt.

a) *

k

1 1 lim 0 , lim 0 , n

n   

n

b)  lim 0 nq  với 1q  . c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c. 3. Một số định lý về giới hạn của dãy số. a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có :

*

n v n

n n u w    và

      n

lim lim lim u n n v w a a    .

b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:

     lim lim lim n n n n u v u v a b    

 lim . lim .lim . n n n n u v u v a b 

   

 *n lim

lim , v 0 n ; 0

lim

nn

n n

uu a b

v v b

     

   lim lim , 0 ,a 0 n n n u u a u   

4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công

bội q ,với 1.q 

1lim lim 1

n

u S

q

 

5. Dãy số dần tới vô cực: a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực

  n u  khi n dần tới vơ cực

 n nếu un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:

lim(un)= hay un  khi n . b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là  khi

n nếu lim  n u   .Ký hiệu:

lim(un)= hay un khi n . c) Định lý:

o Nếu :    *nlim 0 u 0 , nnu     thì 1

lim

n u

 

o Nếu :  lim n u  thì

1 lim 0

n u

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

1. Giới hạn của dãy số (un) với    n

P n u

Q n

với P,Q là các đa thức: o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P

là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số và mẫu số cho nk để đi đến kết quả :

  0 0

lim n

a u

b

 .

o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0.

o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)= .

2. Giới hạn của dãy số dạng:    n f n

u

g n

 , f

và g là các biển thức chứa căn. o Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp. o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

Bài tập

DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Tính các giới hạn sau :

Tính 2 1

lim n

n

Ta có :

1 2

2 1 lim lim 2

n n n

n n

      

Tính 3 1

lim 2 1

n

n

Giải Ta có:

1 3

3 1 3 lim lim

12 1 2 2

n n n

n n

n

      

    

 

Tính  

 

2

2

3 2 5 lim

7 8

n n

n n

Giải Ta có

2

2 2 2

22

22

3 2 5 2 5 3

3 2 5 3 lim lim lim

1 87 87 8 7 7

n n

n n n n n

n nn n

n nn

   

   

    

Tính lim 3

3

21

523

n

nn



Giải Ta có

Ta có : lim 3

3

21

523

n

nn

 =lim

)2 1

(

) 52

3(

3

3

32

3



n n

nn n

=lim 2

3

2 1

52 3

3

32



n

nn

Tính 3

3 2

2 3 1 lim

n n

n n

    

 

Giải Ta có :

3 3

3 3 33

3 2 3 2 3

3 3

2 3

2 1 3

2 3 1 lim lim

2 1 3

lim 3 1

1

n n n

n n nn n

n n n n n

n n

n n

n

    

           

 

    

Tính 2

2

4 1 lim

3 2

n n

n

 

Giải Ta có

2

2 2

2 2

2

1 1 4

4 1 lim lim 2

33 2 2

n n n n n

n n

n

        

    

 

Tính 2

2

3 1 lim

1 2

n n

n

 

Giải Ta có :

2

2 2

2

2

1 3

3 1 lim lim

1 2 1 2

1 1 1 3

lim 0 1

2

n n n n n

n n

n n n n

n

   

  

    

  

Tính lim n

nn

21

14 2



BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

giải Ta có :

lim n

nn

21

14 2

 =lim

n

n n

n

21

1 4

2



=lim

2

1

2 1

1 1

4 2



n

n

Tính  

2

1 4 lim

3 2

n n

n

Giải

   

  

  

 

2

2

2

1 4

1 4 lim lim

3 23 2

1 1 4

1 4 5 lim

2 3 3 3

n n

n n n

nn

n

n

n

Tính lim(n- 1

732



n

nn )

giải Ta có :

2 2 23 7 ( ) ( 3 7) lim

1 1

7 2

2 7 lim lim 2

11 1

n n n n n n n

n n

n n

n

n

         

  

   

     

Tính 2

2 lim

1

n n

n n 

Giải

2

2 2

2

1 2

2 0 lim lim 0

1 11 1 1

n n n n

n n n

n n

      

    

Tính    

3 2

5

2 3 1 lim

1 4

n n

n

 

Giải

   

3 2

5 3 2

5 5

5

2 1 3 1

2 3 1 27 lim lim

11 4 4 4

n n n n n

n n

n

              

    

 

Tính  

2

2

2 2 lim

2 1

n n

n

 

Giải Ta có :

 

2

2 2

2 2

2 2 1

2 2 1 lim lim

1 22 1 2 1

n n n n n

n n n

              

Tính 2

4 2

2 4 lim

2 1

n n

n n

 

 

Giải Ta có :

2

2 2

4 2 2

2 4

1 4 2

2 4 2 lim lim 2

1 1 22 1 2

n n n n n

n n n

n n

         

   

Tính 5 2

5 3

1 lim

2 1

n n

n n

 

 

Giải Ta có :

5

5 2 3 5

5 3 5

2 5

1 1 1

1 lim lim 1

2 12 1 1

n n n n n

n n n

n n

        

      

 

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

Tính 2 3

lim 4

n n

n

          

Giải Ta có :

2 3 2 3 lim lim 0

4 4

n n nn

n 

                                

Tính 3 4 1

lim 4 2 1

n n

n n

 

 

Giải Ta có

3 1 4 1

4 43 4 1 lim lim 1

4 2 1 1 1 4 1

2 4

n n

n

n n

n n n n

n

                   

                 

Tính 5.2 5

lim 2

n

n

cos n

Giải Ta có :

5 2 5

5.2 5 2 lim lim 5

2 2

n

n n

n n

cos n

cos n

      

Tính 7.2 4

lim 2.3 4

n n

n n

Giải Ta có :

7 4 1

7.2 4 2 lim lim 1

2.3 4 3 4 2 1

4

n

n n n

n n n

n

      

      

   

Tính 1 1

5.2 3 lim

2 3

n n

n n 

Giải Ta có :

1 1

5.2 3 5.2 3 lim lim

2 3 2.2 3.3

2 3 5 1

3 1 lim

32 3 2 3

3

n n n n

n n n n

n

n

n

n

 

  

 

          

        

Tính 2

cos lim 3

n n

n

   

 

Giải Ta có :

2

cos cos lim 3 lim 3 3

n n n

n n

          

   

coscos 1 1 cos lim 0 lim 0

nn n mà nên

n n n n n    

Tính 2

3

cos5 lim 5

n n

n

   

 

Giải Ta có :

2

3

cos5 cos5 lim 5 lim 5 5

n n n

n n

          

  

cos5cos5 1 1 cos5 lim 0 lim 0

nn n mà nên

n n n n n    

Tính lim( )1 22 nnn 

Giải

Ta có : lim( )1 22 nnn 

=lim nnn

nnnnnn





22

2222

1

)1)(1(

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

=lim nnn

nnn





22

22

1

)()1(

=lim nnn

n



22 1

1

=lim 2

1

1 1

1 1

1 1

2



nn

n

Tính  2 2lim 1n n n   Giải Ta có :

    

2 2

2 2 2 2

2 2

lim 1

1 1 lim

1

n n n

n n n n n n

n n n

  

      

  

2 2

2

1 1

1 1 lim lim

21 11 1 1

n n n

n n n n

n n

       

       

 

Tính    2lim 2 3n n n Giải

    

  

      

  

   

  

2

2 2

2

2 2

2

lim 2 3

2 3 2 3

lim

2 3

2 3 lim

2 3

n n n

n n n n n n

n n n

n n n

n n n

   

       

   

2

2

2 3 2 3 lim lim

2 3 2 3 1 1

n n

n n n n

n n

   

   

2

3 2

2 lim 1

1 12 3 1 1

n

n n

Tính  2 2lim 1 2n n n   Giải Ta có :

    

2 2

2 2 2 2

2 2

lim 1 2

1 2 1 2 lim

1 2

n n n

n n n n n

n n

  

      

  

   2 2

2 2 2 2

2 2

1 2 3 lim lim

1 2 1 2

3 3 lim

21 2 1 1

n n n n

n n n n

n

n n n

            

   

     

 

Tính 2 21 4 2

lim 3

n n n

n

   

Giải Ta có

     

    

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

1 4 2 lim

3

1 4 2 1 4 2 lim

3 1 4 2

1 4 2 lim

3 1 4 2

n n n

n

n n n n n n

n n n n

n n n

n n n n

   

        

    

    

    

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

   2

2 2

3 1 lim

3 1 4 2

n n

n n n n

   

    

2

2

2

2 2

1 1 3

lim 3 3 1 1 2

1 1 4

n n n

n n n n n

         

         

  

Tính  2 2lim 1 2n n n   Giải Ta có :

   

  

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

1 2 lim 1 2 lim

1 2

1 2 3 lim lim

1 2 1 2

3 3 lim

21 2 1 1

n n n n n n

n n

n n n n

n n n n

n

n n n

      

  

     

     

   

     

 

Tính   3 3lim 2n n Giải

 

   

 

 

        

 

   

3 3

2 3 23 3 3 33

2 3 23 33

lim 2

2 2 2.

lim

2 2.

n n

n n n n n n

n n n n

     

 

  

   

  

   

3 3

3 3

2 3 23 33

2 3 23 33

2

lim

2 2.

2 lim

2 2.

n n

n n n n

n n

n n n n

  2

233 33

2 lim 0

2 2.n n n n

     

Chứng minh các dãy số có số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0 :

sin

1 n

n u

n n 

Giải Ta có :

sin sinsin 1

1 1

1 sin lim 0 lim 0

1

n nn

n nn n n n

n mà nên

n n n

    

  

  2

1

2 nu

n

 

Giải Ta có :

        2 2

1 1 1 1 lim 0 lim 0

2 2

n n

mà nên n n n n

      

 

1

! nu

n 

Giải Ta có

1 1 1 1 0 lim 0

! ! mà lim nên

n n n n   

21 cos

2 1 n

n u

n

 

Giải Ta có :

2 21 cos 2 1 cos 2 1

2 1 22 1 2

n n vì nên

n n nn n

     

 

21 1 cos lim 0 lim 0

2 1

n mà nên

n n

  

5

3 1

n

n n u 

Giải Ta có :

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

5 5 5

3 1 3 3

5 5 lim 0 lim 0

3 3 1

n n n

n n

n n

n mà nên

     

  

    

 

2

sin 2 n

n n u

n n

 

Giải

 2

2

sin 2 1 1

1

1 sin 2 lim 0 lim 0

n n n

n n n n n

n n mà nên

n n n

   

 

  

  2

3

1 sin cos

2 1

n

n

n n u

n

  

Giải Ta có :

 

 

12 3

3 3 3

1 2

3

3

1 sin cos 2 1 1

2 1 2

1 sin cos1 lim 0 lim 0

2 1

n

n

n n

nn n n

n n mà nên

n n

        

  

     

 

  1 1

1 1

2 3

n

n n n u

 

  

Giải Ta có :

 

 

1 1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 1 1

2 3 2 3 2 2 2

11 1 lim 0 lim 0

2 2 3

n

n n n n n n n

nn

n n mà nên

     

 

      

     

 

5 n

n cos n u

n n n

 

Giải Ta có :

  5 1 1

1

1 5 lim 0 lim 0

n cos n n

n n n n n n

n cos n mà nên

n n n n

   

 

  

 22 1nu n n   Giải Ta có :

    

 

2 2

2

2

2 2

2 2 2

2 1 1 2 1

1

2 1 2 2

1 1

2 1

2

n n n n n n

n n

n n

n n n n n n

n n

      

 

    

    

 

Mà  21lim 0 lim2 1 0nên n n n    

1nu n n  

Giải Ta có :

  

1

2

1 1 1

1

1 1 1 1 1

21 2

n n n n n n

n n

n n

nn n n n n

      

 

         

    

Mà   1

21 lim 0 lim 1 0nên n n

n

      

 

Tìm giới hạn của dãy số  nu với

3 3 3

1 1 1 ... .

1 2 nu

n n n n    

  

Giải Ta có số hạng tổng quát là :

  3 3 3

1 1 1,2,...,

1 1 k

n u k n

n k n n     

   Nên

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

3

1 0

1 lim 0 lim 0

k

k

n u

nn

mà nên u n

  

 

Cho dãy số  nu xác định bởi

1

2

1

1

4

2

n n n

u

u u u n

 

     

CMR

a)   1

0 1 4

nu 

b) 1 3

4

n

n

u

u

 

Từ đó suy ra lim 0nu 

Giải Câu a) SD phương pháp quy nạp

Với n = 1 ta có 1 1 1

0 4 4

u   (đúng)

Giả sử (1) đúng với 1n k 

Nghĩa là 1

0 4

ku  (đúng)

Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng với n= k +1. Thật vậy, ta có :

2

2

1

1 1 1 1

2 16 16 4 16

k k k k

u u u u

         

 

Vì 1

0 4

ku  nên 1 3 1

0 16 4

ku   

Vậy (1) luôn đúng với mọi n.

Câu b)

Ta có :

2

1 1 1 1 32 2 4 2 4

n n

n n

n n

u u

u u

u u

       (ĐPCM).

Vậy 1 3

4 n nu u 

Từ đó suy ra

2 1

2

3 2 1

1 1

1 1

3

4

3 3

4 4

............................

3 3 1 3

4 4 4 4

n n

n n

u u

u u u

u u u

 

 

   

     

      

         

1 1 3

lim 0 4 4

lim 0

n

nu

  

   

 

Cho dãy số  nu xác định bởi

1

1

10

n n

u

u u

 



CMR

a)  1 , 1nu n 

b) 1 1

1 2

n n

u u 

  

c) Tìm lim nu

Giải Câu a) SD phương pháp quy nạp Với n =1 ta có : 1 10 1u   (đúng)

Giả sử (1) đúng với .  n k k 1  Nghĩa là 1ku 

Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng với n= k+1, hay 1 1ku  

Thật vậy ta có :

1 11 1k k k ku u màu nên u   

Vậy (1) luôn đúng với mọi n.

Câu b) theo bài ra ta có:

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

   1

1

1 1 1 1

1

1 1

21

n n

n n

n n

n

n n

n

u u

u u u u

u

u u

u

      

   

Câu c)

Đặt

1 1 11 10 1 9 1n n n nv u v và v u        

Theo câu b ta có :

1

1

2 n nv v 

Vậy

2 1

2

3 2 1

1 1

1 1

1

2

1 1

2 2

............................

1 1 1 9

2 2 2

n n

n n

v v

v v v

v v v

 

 

   

     

      

         

  1

1 lim9 0 lim 0 lim 1 0

2

lim 1

n

n n

n

nên v u

u

  

       

 

Cho dãy số  nu xác định bởi

1

1

5

2 6

3 n n

u

u u

   

 

Gọi  nv là dãy số xác định bởi 18n nv u  a) CMR  nv là cấp số nhân lùi vô hạn. b) Tìm lim nu .

Giải Câu a) theo bài ra ta có:

1 1

1

2 2 6 18 12

3 3

2 12

3

n n n n

n n

u u u u

v u

 

     

  

Mặt khác 18n nu v 

Vậy  1 2 2

18 12 3 3

n n nv v v    

Vậy  nv là CSN lùi vô hạn với công bội 2

3 q  .

Câu b)

Vì 1 2

3 n nv v  . Nên

2 1

2

3 2 1

1 1

1 1

2

3

2 2

3 3

.............................

2 2 2 13

3 3 3

n n

n n

v v

v v v

v v v

 

 

   

     

      

         

1 2

lim13 0 lim 0 3

lim 18

n

n

n

nên v

u

  

    

  

Cho dãy số xác định bởi

 

1

1

2

1 1

2

n n

u

u u n

   

  

Tính lim nu .

Giải Ta nhận xét

1 2 3 4 5

3 5 9 17 2, , , ,

2 4 8 16 u u u u u    

Dự đoán   1

1

2 1 1

2

n

n n u

 

Ta chứng minh dự đoán bằng quy nạp

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

Kiểm tra với n=1, ta có 1 2u  đúng với bài

cho

- Giả sử (1) đúng với  1n k k  . Nghĩa là 1

1

2 1

2

k

k k u

 

- Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1)

đúng với n = k+1.hay 1 2 1

2

k

k k u 

 

- Thật vậy ta có: 1

1 1

1 1

2 1 1

1 2.2 1 2 12 2 2 2.2 2

k

k k k

k k k k

u u



 

 

      

Vậy

1

1 1

1 1

1 2 1

2 1 2 lim lim lim 1

2 2

n

n n

n n n u

 

 

       

Cho dãy số  nu xác định bởi

 

1

1

1

2

1 1

2 n

n

u

u n u

 

   



Tính lim nu

Giải

Nhận xét 1 2 3 4 1 2 3 4

, , , ... 2 3 4 5

u u u u   

Dự đoán  1 1

n

n u

n 

Ta chứng minh dự đoán bằng quy nạp

- Với n=1, ta có : 1 1

2 u  (đúng)

- Giả sử (1) đúng với  1n k k  .

Nghĩa là 1

k

k u

k 

- Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1)

đúng với n = k+1. Hay 1 1

2 k

k u

k 

 

- Thật vậy theo bài ra ta có:

1

1 1 1

2 2 2

1

k

k

k u

ku k

k

   

  

Suy ra 1

n

n u

n 

 đúng với mọi 1n 

Vậy lim lim lim 1 11

1 n

n n u

n n

n

     

   

Tính tổng 1 1

2 2 1 ... 22

S      

Giải

Dãy số vô hạn 1 1

2 2 1 ... 22

     là

một CSN lùi vô hạn với công bội

2 1 1

2 2 q     

Do đó 1 2 2 2

11 2 11 2

u S

q   

 

Tính tổng

1 1 1 1 1

1, , , ,..., ,... 2 4 8 2

n

S

  

      

Giải

Dãy số vô hạn

1 1 1 1 1

1, , , ,..., ,... 2 4 8 2

n  

     

Là 1 CSN lùi vô hạn với 1

2 q  

Nên 1 1 2

11 3 1

2

u S

q   

 

Tìm dạng tổng quát của CSN lùi vô hạn

 nu . Biết tổng của nó bằng 32 và 2 8u  Giải

Theo bài ra ta có :  1 32 1 1

u S

q  

Mặt khác 2 1 1 8

8u u q u q

    thế vào (1)

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

ta có

2

1

8

1 32 4 4 1 0 16

1 2

q q q q u

q         

vậy số hạng tổng quát là

1 1

16 2

n

nu

  

    

DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC

Tính lim(2n 3 +3n-1)

giải

Ta có lim(2n 3 +3n-1)=lim n

3 (2+

32

13

nn  )=+

Tính lim(-2n 2 +n n -n+4)

Giải

Ta có : lim(-2n 2 +n n -n+4)

=limn 2 (-2+  )

411 2nnn

.

Tính 33lim 5n n

Giải Ta có :

33 3

2

5 lim 5 lim 1n n n

n

       

 

Tính 2lim 1n n 

Giải

Ta có

2

2

1 1 lim 1 lim 1n n x

n n       

Tính 3 2lim 2 1n n 

Giải Ta có :

3 2

3

1 1 lim 2 1 lim 2n n n n

n n       

Tính  2lim 1n n n   Giải Ta có :

   2 2 2 1 1

lim 1 lim 1n n n n n n

           

 

Tính 33

lim 2 15

n n

n

Giải Ta có :

3

3 2

3

2 3

3 1

3 lim lim

2 152 15

n n n n

n n

n n

       

    

 

2

2 3 2 3

3 lim 1 1

2 15 2 15 lim 0 0

n

và n n n n

      

   

        

Tính 2

2

11 lim

3 1

n n

n n

 

 

Giải Ta có :

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

2

2 2

2 2

2 3

1 11 1

11 lim lim

3 13 1 1

n n n n n

n n n

n n

         

     

 

2

2 3 2 3

1 11 lim 1 1

3 1 3 1 lim 1 0 1 0

n n

và n n n n

      

          

Tính lim( )1 22 nnn 

Giải

Ta có :lim( )1 22 nnn 

=limn(  ) 1

1 1

1 2 nn

Tính 1

lim 2n

n

   

 

Giải Ta có :

1 1 1 lim 2 lim2 1

2

n n

nn n

           

   

Tính 3

2

3 5 1 lim

4

n n

n

 

Giải Ta có :

3

3 2 3

2 3

3

1 1 3 5

3 5 1 lim lim

1 44

n n n n n

n n

n n

         

    

 

2 3

3 3

1 1 lim 3 5 3 0

1 4 1 4 lim 0 0

n n

và n n n n

       

   

        

Tính 2 2lim

1 n

n

   

 

Giải Ta có :

3 2 2

3

3

3

2 3

2 2 lim lim

1 1

1 2 1

lim 1 1

n n n

n n

n n n

n n n

     

  

    

     

   

3

2 3 2 3

1 2 lim 1 1 0

1 1 1 1 lim 0 0

n n

và n n n n

       

   

        

Tính  

 

3

2

2 1 lim

2 3

n n

n n

Giải 3

3 3 2 3

22

2 33

2 1 2 1 1

2 1 lim lim lim

1 1 32 32 3

n n

n n n n n

n nn n

n n nn

   

     

    

2 3

2 3 3 2

2 1 lim 1 1 0

1 1 3 1 3 1 lim 0 0

n n

và n n n n n n

       

   

          

Tính 2 2

lim 1

n n

   

 

Giải 3 2

2

3

3

3

2 3

2 2 lim lim

1 1

1 2 1

lim 1 1

n n n

n n

n n n

n n n

     

  

    

     

   

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

3

2 3 2 3

1 2 lim 1 1 0

1 1 1 1 lim 0 0

n n

và n n n n

       

   

        

Tính   

3 23

2 1 1 3 lim

7 5

n n

n n

 

 

Giải Ta có :

   3 23

3 3 4 6

1 1 2 3

2 1 1 3 lim lim

1 7 57 5

n n n n

n n

n n n

            

   

3 3 4 6 3 4 6

1 1 lim 2 3 6 0

1 7 5 1 7 5 lim 0 0

n n

và n n n n n n

          

           

Tính lim 14

3.25

 n

nn

Giải

Ta có :lim 14

3.25

 n

nn

=lim )

5

1 )

5

4 ((5

)) 5

3 .(21(5

n

nn

nn

=lim  

n

n

n

5

1 )

5

4 (

) 5

3 .(21

(vìlim(1+2.( 1)) 5

3 n >0,lim(( 0)

5

1 )

5

4 

n

n

và 0 5

1 )

5

4 ( 

n

n )

Tính  2 2lim 1 2 1n n   Giải Ta có :

    

 

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

lim 1 2 1

1 2 1 1 2 1 lim

1 2 1

1 2 1 2 lim lim

1 2 1 1 2 1

n n

n n n n

n n

n n n

n n n n

  

      

  

      

     

2

2

2

2 4 2 4

2 1

lim 1 1 2 1

n n

n n n n n

    

     

     

2

2 4 2 4 2 4 2 4

2 lim 1 1 0

1 1 2 1 1 1 2 1 lim 0 0

n

và n n n n n n n n

               

 

       

Tính 1

lim 1n n 

Giải Ta có :

   1 1

lim lim 1 1 1

1 1 lim lim 1 1

1

n n

n n n n n n

n n n

n n n

  

     

         

   

Tính  1lim 2 4 1n n  Giải Ta có :

 1 4

lim 2 4 1 lim 2 1 4

1 1 1 lim4

2 4 4

n n n n

n n

n

         

             

     

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

lim4

1 1 1 1 lim 0

2 4 4 4

n

n n

   

              

     

Tính 5 2

lim 1 2.2

n

n

Giải Ta có :

2 5 1

5 2 5 lim lim

1 2.2 1 2 5 2.

5 5

n

n n

n n

n

n

       

         

2 lim 1 1 0

5

1 2 1 2 lim 2. 0 2. 0

5 5 5 5

n

n n

n n và

      

                     

Tính 12 3.5 3

lim 3.2 7.4

n n

n n

  

Giải Ta có :

1

2 1 5 2. 3 3.

5 52 3.5 3 lim lim

3.2 7.4 2 4 5 3. 7.

5 5

n

n

nn n

n n n n

n

             

               

2 1 lim 2. 3 3. 3

5 5

2 4 2 4 lim 3. 7. 0 3. 7. 0

5 5 5 5

n

n

n n n n

              

          

                     

Tính lim nu

Với 1 1 1

1 ... 2 3

nu n

    

Giải Ta có :

Vì 1

n là số nhỏ nhất trong n số

Nên

1 1 1 1 1 ... .nu n n

n n n n n       

Mà lim lim nn u  

Tính 2 3

lim 2

n

n

n

n

Giải

3 2. 1 2 3 3

lim lim 2 2

3 3 3

n

n n

n n

n

n

n

n

n n

       

         

lim 0 3

lim 2. 1 1 3

2 2 lim 0 0

3 3 3 3

n

n

n n

n n

n

n

n n và

       

      

                   

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Tính các giới hạn sau :

Tính  2 2

lim 5 1 x

x 

 

Giải Ta có :

   22 2

lim 5 1 2 5 1 2 x

x 

      

Tính  2 2

lim 5 6 x

x 

 

Giải

 2 2 2

lim 5 6 2 5 6 3 x

x 

      

Tính 3

1 lim

2x

x

x

Giải

3

1 3 1 2 lim

2 3 2 5x

x

x

   

 

Tính 3

3 lim

1x

x

x

Giải

Ta có : 3

3 lim 0

1x

x

x

 

Tính 3

2 lim

2 1x

x

x

Giải

3

2 2.3 2 8 lim

2 1 2.3 1 7x

x

x

   

 

Tính 2

3

2 3 lim

2x

x x

x

 

Giải Ta có :

2 2

3

2 3 3 2.3 3 lim 0

2 3 2x

x x

x

     

 

Tính  

2 4

2 lim

4x

x

x

Giải Ta có :

 

     

4

2 2

4

lim 2 6 0

lim 4 0 4 0 4

x

x

x

x và x x

    

     

Nên  

2 4

2 lim

4x

x

x

  

Tính  

2 2

2 lim

2x

x

x

Giải Ta có :

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

 

     

2

2 2

2

lim 2 4 0

lim 2 0 2 0 2

x

x

x

x và x x

    

     

Nên  

2 2

2 lim

2x

x

x

  

Tính  

2 3

5 lim

3x

x

x

Giải

 

     

3

2 2

3

lim 5 2 0

lim 3 0 3 0 3

x

x

x

x va x x

     

    

Nên  

2 3

5 lim

3x

x

x

  

Tính  

3

2 2

1 lim

2x

x

x

Giải Ta có :

   

     

33

2

2 2

2

lim 1 2 1 7 0

lim 2 0 2 0 2

x

x

x

x và x x





         

      

Nên  

3

2 2

1 lim

2x

x

x

  

Tính  3 2lim 2 1 x

x x x 

   

Giải Ta có :

 

 

3 2

3

2 3

lim 2 1

1 2 1 lim 1

x

x

x x x

x x x x





   

         

 

Tính  2lim 1 x

x x 

 

Giải Ta có :

 2 2 2 1 1

lim 1 lim 1 x x

x x x x x 

         

 

Tính 2

1 lim

1x

x

x

Giải Ta có :

2

2

2

1 1 1

lim lim 0 11

1 x x

x x x

x

x

 

 

   

Tính 2 20

1 1 lim 1

1x x x  

   

Giải Ta có :

2

2 2 2 20 0

2

2 2 20 0

1 1 1 1 1 lim 1 lim

1 1

1 1 lim lim 1

1 1

x x

x x

x

x x x x

x

x x x

 

 

        

    

     

 

Tính   2 3

5

1 1 2 2 lim

1x

x x x

x

  

Giải Ta có :

  2 3 5

5

2 3 2

5

5

1 1 2 2 lim

1

1 1 2 1 2

lim 2 1

1

x

x

x x x

x

x x x x

x x





  

       

       

 

Tính   2 4

6

1 1 2 lim

1x

x x x

x

  

Giải Ta có :

  2 4 6

6

2 4 3

6

6

1 1 2 lim

1

1 1 2 1 1

lim 2 1

1

x

x

x x x

x

x x x x

x x





  

       

       

 

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

Tính 2 1

lim 1x

x

x

Giải Ta có :

2 2 2

1 1 1 1

1 lim lim lim 1

111 11

x x x

x x x x

x x

xx

  

  

       

 

Tính 22 1

lim 2x

x

x

Giải Ta có :

2 2 2

1 1 2 2

2 1 lim lim lim 2

222 11

x x x

x x x x

x x

xx

  

   

        

 

Tính  2lim 1 x

x x x 

  

Giải Ta có :

 2 2

2

1 1 lim 1 lim 1

1 1 lim 1 1

x x

x

x x x x x x x

x x x

 



         

 

       

 

Tính  2lim 3 1 x

x x x 

  

Giải Ta có :

 2 2

2

3 1 lim 3 1 lim 1

3 1 lim 1 1

x x

x

x x x x x x x

x x x

 



         

 

       

 

Tính  2lim 1 x

x x x 

  

Giải

Ta có :

    

 

2

2 2

2

2 2

2

2

2

lim 1

1 1 lim

1

1 1 lim lim

1 11 1

1 1

1 lim

21 1 1 1

x

x

x x

x

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x

x x x x x

x x

x x

x x x





 



  

      

  

     

     

   

        

 

Tính  2 2lim 2 x

x x x 

  

Giải

    

 

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

lim 2

2 2 lim

1 2

2 2 lim lim

1 21 2 1 1

2 1

1 lim

21 2 1 1

x

x

x x

x

x x x

x x x x x x

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x x





 



  

      

  

     

     

   

    

     

Tính  2 2lim 2 x

x x x 

  

Giải Ta có :

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

    

 

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

lim 2

2 2 lim

1 2

2 2 lim lim

1 21 2 1 1

2 1

1 lim

21 2 1 1

x

x

x x

x

x x x

x x x x x x

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x x





 



  

      

  

     

     

   

     

      

Tính 0

1 1

lim 1

1 x

x

x

Giải Ta có :

0 0 0

1 1 1

1 lim lim lim 1

1 1 1 1

x x x

x xx x

x x

x x

  

 

    

 

Tính 2 3

lim 1 3x

x

x

Giải Ta có :

3 2

2 3 2 lim lim

11 3 3 3

x x

x x x

x x

x

 

       

    

 

Tính 3 2

6 4

2 1 lim

3 2 1x

x x

x x

 

 

Giải Ta có :

3

3 2 3

6 4 6

2 6

3

3

2 6

1 1 2

2 1 lim lim

2 13 2 1 3

1 1 2

lim 0 2 1

3

x x

x

x x x x x

x x x

x x

x x

x x x

 



       

      

 

  

    

 

Tính 3 2

2 1 lim

3 2x

x x

x x

 

Giải Ta có :

3 2

3

1 2

2 1 2 lim lim

3 2 31 2 3

x x

x x xx

x x x

x x x x

 

   

    

      

 

Tính 2

2 3 lim

2 3x

x

x

Giải Ta có :

2

3 2

2 3 2 lim lim 2

3 22 3 2

x x

x x x

x x

x

 

         

 

Tính   

4 2

3

1 lim

1 1x

x x

x x

 

 

Giải Ta có :

  

4

4 2 2 4

3 4

3

1 1 1

1 lim lim 1

1 11 1 1 1

x x

x x x x x

x x x

x x

 

        

       

  

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

Tính 2

3 1 lim

1 2x

x

x x

 

Giải

Ta có

2

2

2

1 3

3 1 lim lim

11 2 1 2

1 3

lim 3 1

1 2

x x

x

x x x

x x x x

x

x x

x x

 



     

   

   

          

Tính 2

14 lim

1x

x

x x

 

Giải

2

2

2

14 1

14 lim lim

11 1

14 1

1 lim

21 1 1

x x

x

x x x

x x x x

x

x x

x x

 



     

   

   

        

 

GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH 0

0

     

GIỚI HẠN MỘT BÊN

Tính 23

3 lim

2 3x

x

x x

 

Giải Ta có :

  

 

23 3

3

3 3 lim lim

2 3 1 3

1 1 lim 3

1 4

x x

x

x x

x x x x

x x

 



  

   

      

Tính 2

21

2 3 lim

2 1x

x x

x x

 

 

Giải Ta có :

  

 

 

2

21 1

1

1 32 3 lim lim

12 1 2 1

2

3 4 lim 1

1 3 2

2

x x

x

x xx x

x x x x

x x

x

 

   

      

 

    

   

 

Tính 2

21

2 lim

1x

x x

x

 

Giải Ta có :

     

 

2

21 1

1

1 22 lim lim

1 1 1

2 3 lim 1

1 2

x x

x

x xx x

x x x

x x

x

 

   

  

    

Tính  

3

0

1 1 lim x

x

x

 

Giải

     

3 2

0 0

3 31 1 lim lim 3 0 x x

x x xx x

x x 

     

Tính 3

22

8 lim

11 18x

x

x x

 

Giải Ta có :

     

 

23

22 2

2

2

2 2 48 lim lim

11 18 2 9

2 4 12 lim 2

9 11

x x

x

x x xx

x x x x

x x x

x

 

   

   

     

Tính  

3

0

3 27 lim x

x

x

 

Giải Ta có :

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

 

   

3 3 2

0 0

2

0

3 27 9 27 27 27 lim lim

9 27 lim 27 0

x x

x

x x x x

x x

x x x x

x

 

      

     

Tính 3 2

3 23

2 5 2 3 lim

4 13 4 3x

x x x

x x x

  

  

Ta có :

     

3 2

3 23

2 2

223 3

2 5 2 3 lim

4 13 4 3

3 2 1 2 1 11 lim lim

4 1 173 4 1

3

x

x x

x x x

x x x

x x x x x

x xx x x

x

 

  

  

       

   

 

Tính 31

1 3 lim

1 1x x x  

    

Giải Ta có :

  3 21 1 1 3 1 3

lim lim 1 1 1 1 1x xx x x x x x 

                 

           

 

2 2

2 21 1

221 1

1 3 2 lim lim

1 1 1 1

1 2 2 lim lim 1 1

11 1

x x

x x

x x x x

x x x x x x

x x x x

x xx x x

 

 

                

         

    

Tính 5

5 lim

5x

x

x

Giải Ta có :

    

5 5

5 55 lim lim 2 5 5

5 5x x

x xx x

x x 

     

 

Tính 2

2

5 3 lim

2x

x

x

 

Ta có :

     

     

    

2 2 2

2 2 2

2

2 22 2

22

5 3 5 35 3 lim lim

2 2 5 3

2 25 9 lim lim

2 5 3 2 5 3

2 2 lim 2

35 3

x x

x x

x

x xx

x x x

x xx

x x x x

x x

x

 

 



     

   

    

     

      

 

Tính 1

1 lim

3 2x

x

x

 

Giải Ta có :

     

        

1 1

1 1

1 3 21 lim lim

3 2 3 2 3 2

1 3 2 1 3 2 lim lim

1 1 1

x x

x x

x xx

x x x

x x x x

x x x

 

 

   

     

       

  

  1

3 2 lim 2 1

1x

x x

x

     

Tính 2

2 lim

7 3x

x

x

 

Giải Ta có :

     2 2

2 7 32 lim lim

7 3 7 3 7 3x x

x xx

x x x 

   

     

    

2 2

2 7 3 lim lim 7 3 6

2x x

x x x

x 

         

Tính 1

3 2 lim

1x

x

x

 

Ta có :

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

     

    

1 1

1 1

3 2 3 23 2 lim lim

1 1 3 2

1 1 1 lim lim 1

43 21 3 2

x x

x x

x xx

x x x

x x

xx x

 

 

     

   

     

   

Tính 27

2 3 lim

49x

x

x

 

Giải Ta có :

     

 

    

   

    

27

27

27

7

7

2 3 lim

49

2 3 2 3 lim

49 2 3

4 3 lim

49 2 3

7 lim

7 7 2 3

1 1 lim 7

567 2 3

x

x

x

x

x

x

x

x x

x x

x

x x

x

x x x

x x x

 

    

  

  

  

  

   

     

  

Tính 2 2

23

2 6 2 6 lim

4 3x

x x x x

x x

    

 

Giải Ta có :

     

2 2

23

2 2 2 2

3 2 2 2

2 6 2 6 lim

4 3

2 6 2 6 2 6 2 6 lim

4 3 2 6 2 6

x

x

x x x x

x x

x x x x x x x x

x x x x x x

    

 

          

      

 

  

   

    

2 2

3 2 2 2

3 2 2

3 2 2

2 6 2 6 lim

4 3 2 6 2 6

4 12 lim

1 3 2 6 2 6

4 1 lim 3

31 2 6 2 6

x

x

x

x x x x

x x x x x x

x

x x x x x x

x x x x x x

     

      

  

      

     

     

Tính 2

2 2 lim

7 3x

x

x

 

 

             

 

2

2

2 2

2 2 lim

7 3

2 2 7 3 2 2 lim

7 3 7 3 2 2

2 7 3 7 3 3 lim lim 2

22 22 2 2

x

x

x x

x

x

x x x

x x x

x x x x

xx x

 

 

 

      

     

         

   

Tính 2

3 2 5 lim

2 2x

x

x

 

 

Giải

       

2

2

3 2 5 lim

2 2

3 2 5 3 2 5 2 2 lim

2 2 3 2 5 2 2

x

x

x

x

x x x

x x x

 

 

      

     

     

     

   

2

2

2

4 2 2 2 lim

2 3 2 5

2 2 2 2 lim

2 3 2 5

2 2 2 4 lim 2

33 2 5

x

x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x

   

  

    

  

       

 

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

Tính 3

1 lim

1x

x

x

Giải Ta có :

3

1 3 1 lim 2

1 3 1x

x

x

   

 

Tính 4

2 1 lim

1x

x

x

Giải Ta có :

4

2 1 2.4 1 lim 3

1 4 1x

x

x

   

 

Tính 0

1 1 lim 1

1x x x

   

 

Giải Ta có :

0 0 0

1 1 1 1 lim 1 lim lim 1

1 1 1x x x

x

x x x x x    

        

   

Tính

  

2

22

4 lim

1 2x

x

x x 

 

Giải Ta có :

     

  

  

  

   

2

2 22 2

22

22

2 24 lim lim

1 2 1 2

2 2 lim

1 2

2 2 lim 0 2

1

x x

x

x

x xx

x x x x

x x

x x

x x x

x

 

 

  

   

   

 

      

Tính 3

21

1 lim

1x

x

x 

Giải Ta có :

     

  

23

21 1

2

1

1 11 lim lim

1 11

1 1 lim 0

1

x x

x

x x xx

x xx

x x x

x

 

 

   

 

    

Tính 0

3 lim

2x

x x

x x 

Giải Ta có :

   0 0

0

33 lim lim

2 2

3 3 3 2 lim

22 2

x x

x

x xx x

x x x x

x

x

 

 

 

 

   

Tính 3

2 1 lim

3x

x

x

Giải Ta có :

 

  3

3

lim 2 1 5

lim 3 0 3 0 3

x

x

x

x và x x

   

     

Nên 3

2 1 lim

3x

x

x

  

Tính 2

2 1 lim

2x

x

x

Giải Ta có :

 

  2

2

lim 2 1 3 0

lim 2 0 2 0 2

x

x

x

x và x x

    

     

Nên 2

2 1 lim

2x

x

x

  

Tính 2

3 7 lim

2x

x

x

Giải

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

Ta có :

 

  2

2

lim 3 7 1 0

lim 2 0 2 0 2

x

x

x

x và x x

     

     

Nên 2

3 7 lim

2x

x

x

  

Tính 2

2

2 lim

2x

x

x

Giải Ta có :

 

 

2

2

2

lim 2 2 0

lim 2 0 2 0 2

x

x

x

x và x x

     

     

Nên 2

2

2 lim

2x

x

x

  

Tính  2

3 6 lim

2x

x

x 

Giải

Ta có :  3 6 0 2x x     Nên

   

   2 2 2

3 6 3 2 lim lim lim 3 3

2 2x x x

x x

x x       

    

 

Tính  2

3 6 lim

2x

x

x 

Giải

Ta có :  3 6 0 2x x     Nên

   

   2 2 2

3 6 3 2 lim lim lim 3 3

2 2x x x

x x

x x       

       

 

Tính  3

3 9 lim

3x

x

x 

Giải

Ta có :  3 9 0 3x x    

Nên

   

   3 3 3

3 9 3 3 lim lim lim 3 3

3 3x x x

x x

x x       

    

 

Tính  3

3 9 lim

3x

x

x 

Giải

Ta có :  3 9 0 3x x     Nên

   

   3 3 3

3 9 3 3 lim lim lim 3 3

3 3x x x

x x

x x       

       

 

Tính  

2

1

3 2 lim

1x

x x

x 

 

Giải

Ta có :  1 0 1x x     Nên

   

    

   

2

1 1

1

1 23 2 lim lim

1 1

lim 2 1

x x

x

x xx x

x x

x

 

   

 

   

  

    

Tính  

2

1

3 2 lim

1x

x x

x 

 

Giải

Ta có :  1 0 1x x     Nên

   

  

   

2

1 1

1

1 23 2 lim lim

1 1

lim 2 1

x x

x

x xx x

x x

x

 

   

 

   

 

  

Tinh 2 2

lim 1x

x x

x

 

Giải Ta có :

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

  

    

2 1 22 lim lim

1 1

1 2 lim lim 2

1

x x

x x

x xx x

x x

x x x

x

 

 

   

  

       

 

Tính 2 5 2

lim 2 1x

x x

x

 

Giải Ta có :

 

   

2 25 2 5 2 lim lim

2 1 2 1

9 1 lim

2 4 4 2 1

1 9 1 lim

2 4 4 2 1

x x

x

x

x x x x

x x

x

x

x x x x

 





    

  

      

  

        

  

Tính 2 4

0

3 lim

2x

x x

x

Giải

Ta có :

22 4

0 0

33 lim lim

2 2x x

x xx x

x x 

 

Xét 2 2 2

0 0 0

3 3 3 3 lim lim lim

2 2 2 2x x x

x x x x x

x x    

     

2 2 2

0 0 0

3 3 3 3 lim lim lim

2 2 2 2x x x

x x x x x

x x    

        

vậy không tồn tại 2 4

0

3 lim

2x

x x

x

 .

Tính 2 4

0

2 lim

2x

x x

x

Giải

Ta có :

22 4

0 0

1 22 lim lim

2 2x x

x xx x

x x 

 

Xét 2 2 2

0 0 0

1 2 1 2 1 2 1 lim lim lim

2 2 2 2x x x

x x x x x

x x    

     

2 2 2

0 0 0

1 2 1 2 1 2 1 lim lim lim

2 2 2 2x x x

x x x x x

x x    

        

vậy không tồn tại 2 4

0

2 lim

2x

x x

x

 .

Cho hàm số

 

 

 

 

2

2

9 3 3

1 3

9 3

x x

f x x

x x

     

  

 

Tính       33 3

lim , lim , lim xx x

f x f x f x    

Giải Ta có :

  2 3 3

lim lim 9 0 x x

f x x   

  

  2 3 3

lim lim 9 0 x x

f x x   

  

  3

lim 0 x

f x 

Cho hàm số

   

 

3

1 3 , 1

1 1

2 1

x x xf x

mx x

  

     

Với giá trị nào của m thì hàm số có giới hạn khi 1x ? Tìm giới hạn này. Giải Ta có :

 

     

  

3 1 1

2

2 21 1

2 1

1 3 lim lim

1 1

1 21 3 lim lim

1 1 1 1

2 lim 1

1

x x

x x

x

f x x x

x xx x

x x x x x x

x

x x

 

 

 

 

    

  

     

     

  

 

    1 1

lim lim 2 2 x x

f x mx m   

   

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )

BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

Để hàm số có giới hạn 1x khi

    1 1

lim lim

1 2

1

x x f x f x

m

m

   

  

  

Và   1

lim 1 1 x

f x khi m 

  

Đơn vị chủ quản: CÔNG TY TNHH THƯƠNG MẠI ĐIỆN TỬ THIÊN THI
372/10 Điện Biên Phủ, Phường 17, Q.Bình Thạnh, HCM
giấy phép MXH: 102/GXN - TTĐT
Lên đầu trang