Chia sẻ Download
Tài liệu Bài giảng điện tử môn Xác suất và thống kê
/93 trang
Thành viên idoc2012

Bài giảng điện tử môn Xác suất và thống kê

- 12 tháng trước
560
Báo lỗi

Tính toán xác suất thống kê là một vấn đề nhiều khi hết sức tế nhị. Kể cả trong những bài toán tưởng chừng như rất đơn giản, cũng có thể tính ra kết quả sai mà khó phát hiện sai ở đâu. Những nghịch lý này cho thấy chúng ta cần hết sức cẩn thận trong lúc lập mô hình tính toán xác suất, đặc biệt là xác suất có điều kiện, kiểm tra lại những điều tưởng chừng như hiển nhiên, để tránh sai lầm.

Nội dung
Microsoft Word - Bia 9.doc

Bài Giảng

Xác suất thống kê

TRẦN AN HẢI

���� 

BÀI GIẢNG

XÁC SUẤT &&&& THỐNG KÊ

HÀ NỘI - 2009

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Mạnh Tuấn, Xác suất &&&& Thống kê, Lí thuyết và thực hành tính toán, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004

[2] Đặng Hùng Thắng, Mở đầu về lí thuyết xác suất và các ứng dụng, Nhà xuất bản Giáo dục, 2005

[3] Đặng Hùng Thắng, Thống kê và ứng dụng, Nhà xuất bản Giáo dục, 2005

[4] Nguyễn Cao Văn - Trương Giêu, Bài tập Lý thuyết xác suất &&&& Thống kê toán, Nhà xuất bản KHKT, 2006

NỘI DUNG Chương 1 Các định nghĩa xác suất Chương 2 Biến ngẫu nhiên Chương 3 Luật số lớn Chương 4 Thống kê mô tả Chương 5 Ước lượng tham số Chương 6 Kiểm định giả thuyết thống kê

Sau khi học hết chương 3 kiểm tra lần 1 Sau khi học hết chương 6 kiểm tra lần 2

 TUẦN 1 ����

Chương 1

CÁC ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

''''1���� PHÉP THỬ VÀ CÁC LOẠI BIẾN CỐ

Khi cho cuộn dây quay đều trong từ trường của một thanh nam châm, kết quả là chắc chắn xuất hiện

dòng điện trong cuộn dây

Đây là một phép th� không ng�u nhiên.

Khi gieo 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất, ta không đoán chắc chắn được kết quả. Chỉ biết được

kết quả là xuất hiện số chấm trong {1, …, 6}.

Đây là một phép th� ng�u nhiên.

Ta còn gặp rất nhiều phép thử ngẫu nhiên khác như: quan sát thị trường chứng khoán, chơi xổ số

và các trò may rủi, thống kê tai nạn và bảo hiểm, thống kê khách hàng đến các máy rút tiền ATM, đêm số lần gọi đến các tổng đài, xét chất lượng sản

phẩm, quan sát thời tiết, xét khả năng phòng thủ trong quân sự,…

Vào năm 1651 nhà quý tộc Pháp De Méré nhờ nhà toán học Blaise Pascal giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong

các trò cờ bạc. Pascal đã “toán học hóa” các trò chơi này, nâng lên thành những bài toán phức tạp hơn và trao đổi vấn

đề này với nhà toán học Pierre de Fermat, người được mệnh danh là “quái kiệt” trong giới toán học đương thời. Những cuộc trao đổi đó đã khai sinh ra Lý thuyết xác suất,

một ngành toán học nghiên cứu các phép thử ngẫu nhiên.

Blaise Pascal (1623-1662)

Ngày nay Lý thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học quan trọng, được ứng dụng trong

rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học,… Chẳng

hạn như nó cho phép xác định rủi ro trong buôn bán hàng hóa. Chính phủ cũng áp dụng các phương

pháp xác suất để điều tiết môi trường hay còn gọi là phân tích đường lối. Nhiều sản phẩm tiêu dùng như xe hơi, đồ điện tử áp dụng lý thuyết xác suất trong thiết kế để giảm thiểu sự hỏng hóc.

Do bài giảng này chỉ xét các phép thử ngẫu nhiên, nên ta gọi tắt chúng là phép thử.

• Phép thử ngẫu nhiên được ký hiệu bởi chữ T . Mỗi kết quả của T được gọi là một bi�n c� s� c�p. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của T được gọi là không gian m�u của T và được ký hiệu bởi chữ Ω.

Ví dụ T = gieo một con xúc xắc và i = số chấm xuất hiện.

Không gian mẫu của T là Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

''''2���� BIẾN CỐ VÀ MỐI QUAN HỆ GIỮA CHÚNG

Khi gieo một con xúc xắc, sẽ ra số chấm lẻ nếu kết quả là ra mặt có số chấm ∈ {1, 3, 5}. Như vậy, các kết quả này thuận lợi cho sự kiện ra số chấm lẻ.

• Một bi�n c� liên quan đến phép thử T là một sự

kiện mà việc nó xảy ra hay không xảy ra tùy thuộc vào kết quả của T. Kết quả ω của T được

gọi là một k�t qu� thu�n l i cho bi�n c� A nếu A xảy ra khi kết quả của T là ω. Tập hợp các kết

quả thuận lợi cho A được ký hiệu là ΩA.

Ví dụ A là biến cố “ra số chấm chẵn” khi gieo một con xúc

xắc , thì ΩA = {2, 4, 6}.

Chú ý • Mỗi biến cố A tương ứng với một và chỉ một tập

con ΩA ⊂ Ω. • Mỗi biến cố sơ cấp ω cũng là một biến cố, và đó

là biến cố mà Ωω = {ω}.

• Bi�n c� không th là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện T. Nó tương ứng với tập ∅⊂ Ω

nên cũng được ký hiệu là ∅.

• Bi�n c� ch�c ch�n là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện T. Nó tương ứng với chính Ω nên

cũng được ký hiệu là Ω.

a) Quan hệ giữa các biến cố

• Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra. Ta có ΩA ⊂ ΩB.

• Biến cố A được gọi là tư�ng đư�ng với biến cố B, ký hiệu A = B, nếu A xảy ra thì B xảy ra và ngược lại. Ta có ΩA = ΩB.

• Bi�n c� đ�i của biến cố A, ký hiệu A, là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra. Ta có

AΩ = Ω \ ΩA.

Ví dụ A là biến cố “ra số chấm chẵn” khi gieo một con xúc

xắc , thì A = “ra số chấm lẻ” và AΩ = {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} \ {2, 4, 6} = Ω \ ΩA .

b) Hợp của các biến cố

• Nếu A1, A2, …, An là các biến cố liên quan đến cùng một phép thử, thì h p (hay t�ng) của chúng, ký hiệu là A1∪A2∪ …∪An, là biến cố xảy ra nếu có ít nhất một biến cố nào đó trong các biến cố A1, A2, …, An xảy ra. Ta có

nn AAAAAA Ω∪∪Ω∪Ω=Ω ∪∪ K2121 ... .

c) Giao của các biến cố

• Nếu A1, A2, …, An là các biến cố liên quan đến cùng một phép thử, thì giao (hay tích) của chúng, ký hiệu là A1A2 …An, là biến cố xảy ra nếu tất cả các biến cố A1, A2, …, An đều xảy ra.

Ta có

nn AAAAAA Ω∩∩Ω∩Ω=Ω K2121 ... .

• Hai biến cố A và B được gọi là xung kh�c nếu AB = ∅.

Ví dụ T = gieo một con xúc xắc và

Ai = "xuất hiện i chấm", A = "xuất hiện số chấm chẵn", B = "xuất hiện số chấm chia hết cho 3".

Ta có A = A2∪A4∪A6, B = A3∪A6,

AB = A6. A1, A2, …, A6 đôi một xung khắc.

Chú ý • A∪B =B∪A, AB =BA

• A∪A = A, AA = A

• A∪Ω = Ω, AΩ = A

• A∪∅ = A, A∅ = ∅

• AA = • nn AAAAAA LL 2121 =∪∪∪

• nn AAAAAA ∪∪∪= LL 2121

Ngôn ngữ xác suất Ngôn ngữ tập hợp Biến cố sơ cấp ω

Không gian mẫu Ω Biến cố A ΩA

B.c A kéo theo b.c B ΩA ⊂ ΩB B.c A, B tương đương ΩA = ΩB

Biến cố hợp A∪B ΩA ∪ ΩB Biến cố giao A∩B ΩA ∩ ΩB

Các biến cố A, B xung khắc ΩA ∩ ΩB = ∅

''''3���� XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ Trong cuộc sống hàng ngày có những câu nói kiểu

như “Chiều nay có thể mưa”, “Giá vàng ngày mai có thể giảm”, “Mua loại cổ phiếu này có thể thắng lợi”. Đây chính là khẳng định về khả năng xảy ra của

biến cố. Toán học đã định lượng hóa các khả năng này bằng cách gán cho mỗi biến cố một con số

thuộc [0; 1], gọi là xác su�t c�a bi�n c� đó. Ký hiệu xác suất của biến cố A là P(A).

a) Định nghĩa xác suất cổ điển

• Giả sử một phép thử T có tất cả n kết quả

đồng khả năng, trong đó m kết quả thuận lợi cho biến cố A (tức là |Ω| = n, |ΩA| = m). Khi đó

P(A) = n

m .

Nói cách khác, P(A) bằng tỉ số của số kết quả thuận lợi cho A trên số kết quả có thể xảy ra.

Ví dụ T = gieo một con xúc xắc cân đối.

A = “ra số chấm chẵn”, B = “ra số chấm chia hết cho 3”.

Ta có P(A) = 6

3 và P(B) =

6 2

.

Chú ý Từ tính đối xứng của phép thử (đồng tiền cân đối,

con xúc xắc cân đối,…) ta suy ra các kết quả của nó đồng khả năng.

b) Định nghĩa xác suất theo hình học

Bài toán Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm đã định trước trong khoảng thời gian từ 19 đến 20 giờ. Mỗi người có thể đến điểm hẹn một cách ngẫu nhiên tại một thời điểm trong khoảng thời gian nói trên và họ qui ước rằng người đến trước sẽ chỉ đợi

người đến sau trong vòng 10 phút. Tính xác suất để hai người này có thể gặp nhau.

Phân tích Gọi x và y lần lượt là thời điểm (tính bằng phút) người thứ nhất và người thứ hai đến

điểm hẹn. x và y thuộc [0; 60]. Ở đây phép thử là hành động hai người gặp nhau, còn mỗi cặp thời điểm (x; y) là một kết quả. Trong mặt phẳng (Oxy) tập hợp các cặp thời điểm này là

hình vuông Ω có cạnh bằng 60. Biến cố A = “hai người gặp nhau” xảy ra khi và chỉ

khi |x – y| ≤ 10 hay x – 10 ≤ y ≤ x + 10.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được biểu diễn bởi miền hình học ΩA gạch chéo.

Xác suất của biến cố A được tính theo định nghĩa sau đây.

• Giả sử một phép thử T có vô hạn biến cố sơ

cấp đồng khả năng có thể biểu diễn như các điểm của một miền hình học Ω nào đó, các biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A được biểu diễn như các điểm của miền hình học ΩA. Khi đó

P(A) = độ đo của ΩA/độ đo của Ω.

Độ đo sẽ là độ dài, diện tích hay thể tích tùy theo Ω là đoạn thẳng, miền phẳng hay khối không gian.

Trong bài toán trên

P(A) = 2 22

60 5060 −

=

36 11

.

c) Định nghĩa xác suất bằng tần suất Việc tính: khả năng để một máy nào đó sản xuất

ra một phế phẩm, khả năng để doanh nghiệp đạt được doanh số tối thiểu 50 triệu đ/tháng,…rõ ràng

phải dựa vào quan sát thực tế để giải quyết nên không thể dùng hai định nghĩa trên.

• Giả sử phép thử T có thể được thực hiện lặp lại

rất nhiều lần trong những điều kiện giống hệt nhau. Nếu trong n lần thực hiện T, biến cố A

xuất hiện m(A) lần thì tỉ số fn(A) = n

Am )( được

gọi là t�n su�t xu�t hi�n của biến cố A trong n phép thử. Khi số phép thử n tăng ra vô hạn, nếu fn(A) dần tới một con số p thì

P(A) = p.

Ví dụ

người gieo số lần gieo số lần sấp tần suất để sấp

Buffon 4040 2048 0.5069 Pearson 12000 6019 0.5016 Pearson 24000 12012 0.5005

Tần suất dần tới số 0.5

Ví dụ Thống kê của Đacnon tại Pháp

năm 1806 1816 1836 1856 1903 1920 tần suất sinh con gái 0.485 0.484 0.485 0.487 0.488 0.489

Trên thực tế lấy P(A) ≈ fn(A) với n đủ lớn.

Ví dụ Muốn xác định xác suất để một máy sản xuất ra

một phế phẩm, người ta theo dõi 100000 sản phẩm do nó sản xuất và thấy có 138 phế phẩm. Vậy xác suất cần tìm xấp xỉ bằng

100000 138

.

Trong 3 định nghĩa trên: • 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; • P(∅) = 0, P(Ω) = 1 ; • Nếu P(A) > P(B) thì khả năng xuất hiện

của A cao hơn khả năng xuất hiện của B.

d) Nguyên lý xác suất nhỏ Qua thực nghiệm và quan sát thực tế, người ta

thấy rằng các biến cố có xác suất bé sẽ khó xảy ra khi chỉ thực hiện một hay một vài phép thử. Chẳng

hạn việc một vé số trúng giải độc đắc là rất hiếm. Từ đó người ta thừa nhận nguyên lý sau đây

Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.

Tương tự như vậy, ta có Nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố có xác suất gần bằng 1 thì thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử.

Hai nguyên lý này được ứng dụng rộng rãi trong đời sống khi xét sự tin cậy của khẳng định nào đó.

Ví dụ Trong một lớp có 50 người, nhất định có các bạn

sinh nhật trùng nhau, bởi vì biến cố "không có 2 người nào có ngày sinh giống nhau" có xác suất rất

bé (xấp xỉ 0,0295).

''''4���� CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

a) Quy tắc cộng xác suất: Nếu các biến cố A1, A2, …, An liên quan đến phép thử T và xung khắc từng đôi một, thì

( ) ∑ =

= =∪

n

i ii

n i APAP

1 1 )( .

Ví dụ Trong một lớp gồm 100 sinh viên có 60 em ở tỉnh X

còn 12 em ở tỉnh Y. Chọn ngẫu nhiên một em. Tính xác suất để em này ở tỉnh X hoặc tỉnh Y.

Giải A = “Em đó ở tỉnh X”, B = “Em đó ở tỉnh Y”.

A và B xung khắc, nên

P(A∪B) = P(A) + P(B) = 100

12 100

60 + = 0, 72. ☺☺☺☺

b) Quy tắc cộng xác suất tổng quát: Nếu các biến cố A1, A2, …, An liên quan đến phép thử T, thì

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).nn

kji kjiji ji

n

i ii

n i

AAAPAAAPAAP

APAP

LL 21 1

1 1

1 − <<<

=

=

−+++−

−=∪

∑∑

c) Quy tắc chuyển sang biến cố đối ( ) ( )APAP −=1 .

Ví dụ Theo thống kê trung bình một năm (365 ngày) có 60

ngày mưa thật to, 40 ngày gió thật lớn và 20 ngày có bão (vừa mưa thật to, vừa gió thật lớn). Tính xác suất để một ngày chọn ngẫu nhiên trong năm có thời tiết bất thường.

Giải A = “Ngày đó có mưa thật to”,

B = “Ngày đó có gió thật lớn” ⇒ AB = “Ngày đó có bão”. P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(AB) =

365 80

365 20

365 40

365 60

=−+ . ☺☺☺☺

Ví dụ Chọn ngẫu nhiên 3 người X, Y, Z. Tính xác suất để

trong đó có ít nhất 2 người có cùng ngày sinh nhật. Giải A = “Có ít nhất 2 người có cùng ngày sinh nhật” ⇒

A = “Cả 3 người đều có ngày sinh nhật khác nhau”.

Ký hiệu x, y, z tương ứng là ngày sinh nhật của X, Y, Z thì mỗi (x, y, z) với 1≤ x, y, z ≤ 365 là một kết quả. Ta có |Ω| = 3653, AΩ = 365⋅364⋅363 nên

( ) ( )APAP −=1 = 0820 365

3633643651 3 ,= ⋅⋅

− . ☺☺☺☺

d) Xác suất có điều kiện Có những biến cố mà sự xảy ra của chúng có ảnh

hưởng nhau. Ví dụ Chọn ngẫu nhiên một gia đình có 3 con.

Tính xác suất để gia đình này có hai con trai trong mỗi trường hợp sau: i) Nếu không biết số con gái của gia đình này;

ii) Nếu được thông báo gia đình này có đứa con cả là con gái.

Giải A1 := “gia đình đó có đứa con cả là con gái”.

A2 := “gia đình đó có 2 con trai”, Ω = {TTT, TTG, TGT, GTT, TGG, GTG, GGT, GGG},

2AΩ = {TTG, TGT, GTT}, nên P(A2) = 3/8.

Nếu biết rằng A1 đã xảy ra thì không gian mẫu bây giờ thu hẹp lại chỉ còn là

{GTT, GTG, GGT, GGG} = 1AΩ .

Còn tập hợp các kết quả thuận lợi cho A2 là {GTT} =

21AAΩ .

Vậy đáp số của ii) bằng

4 1

1

21 =

Ω Ω

|| ||

A

AA . ☺☺☺☺

Trong bài toán này ta thấy rằng khả năng để gia đình đó có hai con trai phụ thuộc vào việc biết biến

cố A1 đã xảy ra hay chưa. Điều này dẫn tới khái niệm xác su�t có đi�u ki�n. Nhưng nên định nghĩa xác suất có điều kiện như thế nào ?

Xem lại lời giải của ii) ta có

( ) ( )1

21

1

21

1

21

4 1

AP AAP

A

AA

A

AA =

 

 

Ω Ω

 

 

Ω Ω

=

Ω Ω

= || ||

.

Nhận xét này cho phép ta định nghĩa xác suất có điều kiện như sau

• Nếu P(A1)>0 thì xác suất có điều kiện của A2 khi A1 đã xảy ra, ký hiệu là ( )12 AAP / , được cho bởi

( ) ( )( )1 21

12 AP AAPAAP =/ .

Chú ý Xác suất có điều kiện có thể tính trực tiếp từ bối cảnh bài toán mà không cần thông qua công thức trên.

Ví dụ Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối. Tính xác suất

để tổng số nốt trên 2 con là 7, biết rằng có ít nhất một con ra mặt 5.

Giải Cách 1

Không gian mẫu thu gọn bao gồm 11 biến cố sơ cấp có ít nhất một con ra mặt 5 là:

(i, 5) với i∈{1, 2, 3, 4, 5, 6} và (5, j) với j∈{1, 2, 3, 4, 6}. Trong tập này có 2 trường hợp mà tổng bằng 7.

⇒ 11

2 =P .

Cách 2 A = “ít nhất một con ra 5”, B = “tổng số chấm trên hai con bằng 7”. |Ω| = 62, AΩ = {(i, j)| i và j ∈ {1, 2, 3, 4, 6}}.

ΩAB = {(2, 5), (5, 2)}

⇒P(A) = ( )AP−1 = 36

11 6

51 2

= 

  

 − và P(AB)

36 2

=

⇒ ( ) ( )( ) 11 2

==

AP ABPABP / . ☺

e) Quy tắc nhân xác suất Từ Định nghĩa Xác suất có điều kiện của A2 khi A1

(P(A1) > 0) đã xảy ra: ( ) ( )( )1

21 12 AP

AAPAAP =/ ,

ta suy ra

Quy tắc nhân xác suất Nếu P(A1) > 0, thì P(A1A2) = P(A1)P(A2/A1).

Mở rộng công thức P(A1A2) = P(A1)P(A2/A1) cho n biến cố, ta có

Quy tắc nhân xác suất tổng quát Nếu P(A1A2⋅⋅⋅An-1) > 0 (n>1), thì

P(A1A2⋅⋅⋅An) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)⋅⋅⋅P(An/A1A2⋅⋅⋅An-1).

Chứng minh Do ( ) ( ) ( )12211210 APAAAPAAAP nn ≤≤≤< −− KLL

nên ta có thể áp dụng công thức tính xác suất có điều kiện để có:

P(A2/A1) = P(A1A2) / P(A1) P(A3/A1A2) = P(A1A2A3) / P(A1A2)

……………………………………..

P(An-1/A1A2⋅⋅⋅An-2) = P(A1A2⋅⋅⋅An-1) / P(A1A2⋅⋅⋅An-2) P(An/A1A2⋅⋅⋅An-1) = P(A1A2⋅⋅⋅An) / P(A1A2⋅⋅⋅An-1)

Từ đây ta suy ra P(A2/A1)P(A3/A1A2)⋅⋅⋅P(An/A1A2⋅⋅⋅An-1)

= P(A1A2⋅⋅⋅An) / P(A1). Nhân hai vế với P(A1) ta có Công thức nhân xác

suất tổng quát. ☺☺☺☺

Ví dụ Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế

phẩm. Rút ngẫu nhiên lần lượt 4 sản phẩm theo kiểu mỗi lần rút không hoàn lại và kiểm tra. Nếu tất

cả 4 sản phẩm này đều tốt thì lô hàng được nhận. Tìm xác suất để lô hàng này được nhận.

Giải H = “lô hàng được nhận”,

Ai = “sản phẩm rút ở lần thứ i là tốt”, (i = 1, 2, 3, 4) H = A1A2A3A4 ⇒

P(H) = P(A1A2A3A4) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)P(A4/A1A2A3)

=

97 87

98 88

99 89

100 90

⋅⋅⋅ ≈ 0,6516. ☺☺☺☺

f) Các biến cố độc lập • Hai biến cố A và B liên quan đến một phép thử

T được gọi là đ�c l�p nếu ( ) ( ) ( )BPAPABP = . Cơ sở của định nghĩa này: Khi P(B)>0, thì

( ) ( ) ( )BPAPABP = ⇔ ( ) ( )( )BP ABPAP =

⇔ ( ) ( )BAPAP /= . Như vậy, việc xảy ra của biến cố B không làm thay đổi xác suất của biến cố A.

• Nếu A và B độc lập thì hai biến cố trong mỗi cặp sau cũng độc lập : A và B ; A và B; A và B .

Định nghĩa Các biến cố A1, A2, …, An liên quan đến phép thử T là đ�c l�p toàn ph�n nếu với mọi tổ hợp nkji ≤<<<≤ K1 , ta có các đẳng thức sau:

( ) ( ) ( )jiji APAPAAP = , ( ) ( ) ( ) ( )kjikji APAPAPAAAP = , …, ( ) ( ) ( ) ( )nn APAPAPAAAP LL 2121 = .

Ví dụ Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế

phẩm. Rút ngẫu nhiên lần lượt 4 sản phẩm theo kiểu mỗi lần rút thì kiểm tra xong và hoàn lại. Nếu

tất cả 4 sản phẩm này đều tốt thì lô hàng được nhận. Tìm xác suất để lô hàng này được nhận.

Giải H = “lô hàng được nhận”,

Ai = “sản phẩm rút ở lần thứ i là tốt”, (i = 1, 2, 3, 4) H = A1A2A3A4 và A1, A2, A3, A4 độc lập nên

P(H) = P(A1A2A3A4) = P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) =

4

100 90

 

  

 = 0,6561. ☺☺☺☺

Chú ý A1, A2, …, An độc lập toàn phần ⇒ độc lập từng

đôi một. Nhưng điều ngược lại có thể không đúng.

Ví dụ Gieo một khối tứ diện đều có mặt thứ nhất sơn đỏ, mặt thứ hai sơn xanh, mặt thứ ba sơn vàng, mặt

thứ tư sơn 3 màu: đỏ, xanh, vàng. Ký hiệu Đ, X, V tương ứng là biến cố xuất hiện mặt có màu đỏ,

xanh, vàng. Ta có:

P(Đ) = P(X) = P(V) = 2

1 4 2

= .

P(Đ/X) = P(V/X) = P(X/V) = P(Đ/V) =P(X/Đ) = P(V/Đ) =

2 1

⇒ Đ, X, V độc lập từng đôi. P(Đ/XV) = 1 ≠ P(Đ) ⇒ Đ, X, V không độc lập toàn phần. ☺☺☺☺

g) Công thức xác suất đầy đủ • Các biến cố H1, H2, … , Hn được gọi là một

nhóm đ�y đ� các bi�n c� nếu thỏa hai điều kiện sau: � HiHj = ∅ với mọi i ≠ j ; � Ω=∪

= i n i H1 .

Định lí Giả sử H1, H2, … , Hn là một nhóm đầy đủ các biến cố có xác suất khác 0 và A là một biến cố nào đó trong cùng một phép thử. Ta có

( ) ( ) ( )∑ =

=

n

i ii HAPHPAP

1 / (công thức Xác suất đầy đủ)

Chứng minh

(AHi)(AHj) = (AA)(HiHj) = A∅ = ∅ và AAHAAH iniini =Ω=∪=∪ == 11

H1

H2 H3 H4

Hk Hn

A

⇒ ( ) ( )∑ =

=

n

i iAHPAP

1 theo Quy tắc cộng xác suất.

Do Công thức nhân xác suất: P(AHi) = P(Hi)P(A/Hi) (i = 1,…, n),

ta có ( ) ( ) ( )∑

=

=

n

i ii HAPHPAP

1 / . ☺☺☺☺

Ví dụ

HỘP 1 HỘP 2

HỘP 3 Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên

một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được chính phẩm.

6 chính phẩm 4 phế phẩm

10 chính phẩm 5 phế phẩm

15 chính phẩm 5 phế phẩm

Giải A = “lấy được chính phẩm”.

Hi = “sản phẩm lấy ra thuộc hộp thứ i” (i = 1, 2, 3) là nhóm đầy đủ các biến cố

P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3.

HỘP 1: ⇒ P(A/H1) = 6/10

HỘP 2: ⇒ P(A/H2) = 10/15

HỘP 3: ⇒ P(A/H3) = 15/20

6 chính phẩm 4 phế phẩm

10 chính phẩm 5 phế phẩm

15 chính phẩm 5 phế phẩm

Do đó, theo Công thức Xác suất đầy đủ

P(A) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3)

=

20 15

3 1

15 10

3 1

10 6

3 1

⋅+⋅+⋅ = 121/180 ☺☺☺☺

Nhận xét mang tính kinh nghiệm: Nếu phép thử gồm 2 giai đoạn, biến cố A liên quan đến giai đoạn sau, thì các kết quả có thể có của giai đoạn đầu chính là một nhóm đầy đủ.

Trong ví dụ trên, giai đoạn đầu của phép thử là lấy ra 1 trong 3 hộp, giai đoạn hai là lấy ra một sản

phẩm từ 1 hộp đã được lấy ra.

h) Công thức Bayes Định lí Giả sử H1, H2, … , Hn là một nhóm đầy đủ các biến cố có xác suất khác 0 và A là một biến cố nào đó trong cùng một phép thử, P(A) ≠ 0. Với mỗi i = 1, 2, … , n, ta có công thức sau

P(Hi/A) = ( ) ( )( ) ( )∑ =

n

i ii

ii

HAPHP

HAPHP

1 /

/ (công thức Bayes).

Chứng minh Theo Công thức nhân xác suất

P(A)P(Hi/A) = P(AHi) = P(Hi)P(A/Hi) ta có

P(Hi/A) = ( ) ( )( ) =AP HAPHP ii / ( ) ( )

( ) ( )∑ =

n

i ii

ii

HAPHP

HAPHP

1 /

/ .☺☺☺☺

Nhận xét Theo Công thức Xác suất đầy đủ, biểu thức

P(H1)P(A/H1) + ⋅⋅⋅ + P(Hn)P(A/Hn) chính là P(A), nên Công thức Bayes hay được dùng cùng với Công thức Xác suất đầy đủ.

Ví dụ

HỘP 1 HỘP 2

HỘP 3 Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên

một sản phẩm, thấy đó là chính phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm đó thuộc hộp 1.

6 chính phẩm 4 phế phẩm

10 chính phẩm 5 phế phẩm

15 chính phẩm 5 phế phẩm

Giải A = “ lấy được chính phẩm”.

Hi = “sản phẩm lấy ra thuộc hộp thứ i” (i = 1, 2, 3) là nhóm đầy đủ các biến cố

Theo Ví dụ trên P(H1) = 1/3, P(A/H1) = 6/10, P(A) = 121/180.

Theo công thức Bayes P(H1/A) = [P(H1)P(A/H1)]/P(A) = 36/121 ☺☺☺☺

• Công thức Bayes có ứng dụng đa dạng và phong phú trong nhiều lĩnh vực khác nhau vì đó là công thức cho phép nắn lại phán đoán, cập nhật thông tin, tính lại xác suất P(Hi) khi đã có thêm thông tin về biến cố A xuất hiện.

Trong ví dụ trên, trước khi phép thử được tiến hành P(H1) = 1/3. Còn sau khi đã biết kết quả của phép thử, thì xác suất của H1 bằng 36/121.

Ví dụ Trước khi đưa một sản phẩm ra thị trường người ta

đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có:

• 34 người trả lời “S� mua”, • 96 người trả lời “Có th s� mua”

• 70 người trả lời “Không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự mua

sản phẩm tương ứng với những cách trả lời trên là 40%, 20% và 1%.

1) Hãy đánh giá thị trường tiềm năng của sản phẩm đó (hay tỉ lệ người thực sự mua sản phẩm đó).

2) Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì có bao nhiêu phần trăm đã trả lời “S� mua”?

Giải A = “Lấy ngẫu nhiên một khách hàng thì người đó th�c s� mua sản phẩm”

Tỉ lệ khách hàng th�c s� mua sản phẩm = P(A) H1 = “Người đó trả lời S� mua”,

H2 = “Người đó trả lời Có th s� mua”, H3 = “Người đó trả lời Không mua”. H1, H2, H3 là nhóm đầy đủ các biến cố.

P(H1) = P(“Người đó trả lời S� mua”) =

200 34

= 0,17 P(H2) = P(“Người đó trả lời Có th s� mua”)

=

200 96

= 0,48 P(H3) = P(“Người đó trả lời “Không mua””)

=

200 70

= 0,35 P(A/H1) = 40/100 = 0,4

P(A/H2) = 20/100 = 0,2 P(A/H3) = 1/100 = 0,01

1) Theo Công thức xác suất đầy đủ P(A) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3)

= 010 200

7020 200

9640 200

34 ,,, ⋅+⋅+⋅ = 0,1675.

Vậy thị trường tiềm năng của sản phẩm đó là 16,75%.

2) Theo Công thức Bayes P(H1/A) = ( ) ( )( ) 16750

4017011 ,

,,/ × =

AP HAPHP

≈ 0,40597 = 40,597%. ☺☺☺☺

Chương 2

BIẾN NGẪU NHIÊN ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

''''1���� KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN

Những đại lượng như: lượng khách vào 1cửa hàng trong ngày, số khuyết tật của 1 sản phẩm vừa làm ra, nhiệt độ ở 1 thời điểm trong ngày, con số mũi

tên trỏ tới trong trò chơi Chiếc nón kỳ diệu… có đặc điểm chung là ta không thể đoán trước được giá trị nó sẽ nhận. Những đại lượng kiểu này được gọi là bi�n ng�u nhiên (bnn). Ta dùng những chữ cái

hoa như X, Y, Z …để ký hiệu biến ngẫu nhiên. Nhu cầu dự báo dẫn đến ta phải nghiên cứu bnn.

Biến ngẫu nhiên được chia làm 2 loại: � Một bnn được gọi là r�i r�c nếu ta có thể liệt

kê tất cả các giá trị có thể của nó thành một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn.

Ví dụ Số khuyết tật của 1 sản phẩm vừa làm ra.

� Một bnn X được gọi là liên t�c nếu: • Các giá trị có thể của X lấp đầy một hay một

số khoảng của trục số, thậm chí lấp đầy cả trục số.

• Với mọi số thực a, P{X = a} = 0.

Ví dụ Nhiệt độ ở một thời điểm trong ngày.

''''2 ���� QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

Chỉ biết tập các giá trị có thể của một bnn là chưa đủ để xác định nó. Chẳng hạn, gọi X := số lần xuất

hiện mặt sấp khi gieo một đồng xu 3 lần, Y := số lần ra 1 chấm khi gieo một con xúc xắc 3 lần. Tập giá trị có thể của X, Y trùng nhau, là {0, 1, 2, 3}.

Nhưng nói chung P{X = i} ≠ P{Y = i}. Vì vậy, một

bnn được xác định khi ta biết xác suất để nó nhận giá trị bất kỳ, hay nhận giá trị trong một khoảng bất kỳ. Một hình thức cho phép làm điều đó được

gọi là quy lu�t phân ph�i xác su�t c�a bnn.

Những hình thức cho quy luật ppxs: công thức, bảng ppxs, hàm ppxs, hàm mật độ.

Đơn vị chủ quản: CÔNG TY TNHH THƯƠNG MẠI ĐIỆN TỬ THIÊN THI
Địa chỉ: 41-43 Trần Cao Văn, P6, Q3, HCM
giấy phép MXH: 102/GXN - TTĐT