Chương 8: Chuỗi Fourier và tích phân Fourier

Số trang: 29
Mã số: 364264
Loại file: PDF
Nhúng
Toàn màn hình
Thích
/ 29
Sao chép
Chương 8
Chui Fourier và
tích phân Fourier
8.1. Chui Fourier .................................................................................................................275
8.1.1. Phương pháp trung bình cng trong chui Fourier ....................................................... 276
8.1.2. Tính đầy đủ ca các h đa thc ..................................................................................... 279
8.1.3. Tính cht ca các h s Fourier..................................................................................... 282
8.1.4. Đạo hàm, tích phân và tính hi t ca chui Fourier .................................................... 284
8.1.5. Dng phc ca chui Fourier........................................................................................ 288
8.1.6. Thí d ............................................................................................................................ 289
8.2. Tích phân Fourier ......................................................................................................... 290
8.2.1. Biu din hàm s bng tích phân Fourier...................................................................... 290
8.2.2. Dng khác ca công thc Fourier ................................................................................. 293
8.3. Biến đổi Fourier............................................................................................................ 295
8.3.1. Định nghĩa..................................................................................................................... 295
8.3.2. Các tính cht ca biến đổi Fourier ................................................................................ 296
8.3.3. Biến đổi Fourier ca đạo hàmđạo hàm ca biến đổi Fourier................................... 297
8.3.4. Tích chp và biến đổi Fourier ....................................................................................... 299
8.4. Mt s ví d v ng dng........................................................................................ 301
8.4.1. B lc đin .................................................................................................................... 301
8.4.2. S truyn nhit trong thanh kim loi............................................................................. 302
8.1. Chui Fourier
Trong giáo trình gii tích các hàm s mt biến, chúng ta đã được làm quen vi
khái nim chui Fourier ca hàm kh tích và xem xét sơ b tính hi t ca nó. Đây
là mt lĩnh vc quan trng ca toán hc và có nhiu ng dng thiết thc trong: Vt
lý, Cơ hc, K thut, Công ngh,... cho nên đã được quan tâm nghiên cu rt
nhiu. Các kết qu v lĩnh vc này vô cùng phong phú, đa dng, và nhng gì chúng
ta đã biết trong giáo trình gii tích nói trên mi ch là nhng kiến thc ban đầu.
LIÊN HỆ QUẢNG CÁO 0906.345.800
276
Gii tích các hàm nhiu biến
Toàn b chương này chúng ta dành để tiếp tc công vic tìm hiu lĩnh vc thú v
đó.
8.1.1. Phương pháp trung bình cng trong chui Fourier
Trước hết ta nhc li rng chui Fourier ca mt hàm f kh tích tun hoàn
trên đon
[,]ππ là chui lượng giác
0
1
[cos sin ]
2
nn
n
a
anxbnx
=
++
,
trong đó các h s được tính bi các công thc sau đây
1
( )cos , 0,1,2,3,...
n
afxnxdxn
π
π
π
==
1
( )sin , 1, 2,3,...
n
bfxnxdxn
π
π
π
==
.
Tng riêng ca chui này là
0
1
() [ cos sin ]
2
n
nkk
k
a
Sx a kx b kx
=
=+ + =
1
1
[1 2 (cos cos sin .sin )] ( )
2
n
k
kt kx kt kx f t dt
π
π
π
=
=+ +
=
1
1
[1 2 cos ( )] ( )
2
n
k
kt x f tdt
π
π
π
=
=+
.
Để ý rng
1
sin[(2 1) / 2]
12 cos
sin( / 2)
n
k
nu
ku
u
=
+
+=
khi 2um
π
, m ], ta suy ra
1
() ( ) ()
2
nn
Sx Dt xftdt
π
π
π
=
,
trong đó
()
()
21
sin
2
()
sin
2
n
n
u
Du
u
+
=
, có tên gi là nhân Dirichlet, còn tích phân vế
phi ca biu thc trên có tên gi là tích phân Dirichlet. D thy rng nhân
Dirichlet là mt hàm chn, liên tc, tun hoàn vi chu k 2
π
0
1
() 1
n
Dudu
π
π
=
.
Thiết lp các trung bình cng ca các tng riêng và ca các nhân Dirichlet
LIÊN HỆ QUẢNG CÁO 0906.345.800
Chương 8. Chui Fourier và tích phân Fourier
277
01
() () ... ()
1
n
n
Sx Sx Sx
n
σ
+++
=
+
,
01
() () ... ()
()
1
n
n
D
xDx Dx
x
n
Φ
+++
=
+
,
và gi
()
n
x
Φ nhân Fejer, còn ( )
n
x
σ tng Fejer, và t các công thc tích
phân Dirichlet ta có
1
() () ( )
2
nn
x
ufx udu
π
π
σΦ
π
=+
.
B đề.
Nhân Fejer ()
n
x
Φ có nhng tính cht sau đây:
(i) Nhân Fejer
()
n
x
Φ
là chn, liên tc, tun hoàn vi chu k
2
π
;
(ii) () 0,
n
x
xΦ ≥∀ ;
(iii)
1
() 1
2
n
xdx
π
π
Φ
π
=
;
(iv) Vi mi (0, )δπ ta có
||
lim max ( ) 0
n
n
x
x
δπ
→∞
≤≤
= .
Chng minh. T định nghĩa ta có
00
1
(1)() () sin[(21)/2]
sin( / 2)
nn
nk
kk
nxDx kx
x
Φ
==
+= = +=
∑∑
22
00
11
2sin[(2 1) / 2]sin( / 2) [cos cos( 1) ]
2sin ( /2) 2sin ( /2)
nn
kk
kx x kx kx
xx
==
=+= +
∑∑
2
22
1cos( 1) 2.sin[( 1)/2]
2sin ( /2) 2sin ( /2)
nx nx
xx
++
== .
T đây suy ra
2
2
sin [( 1) /2]
()
(1)sin(/2)
n
nx
x
nx
Φ
+
=
+
.
Đẳng thc trên đúng vi mi x khác 0. Nhưng do vế phi là hàm liên tc và vế trái
có gii hn là n+1 khi x tiến ti 0, cho nên ta suy ra (0) 1
n
nΦ =+. T công thc
trên ta suy ra các tính cht (i)-(ii). Tính cht (iii) có ngay t công thc tích phân
nhân Dirichlet (bng 1 vi mi n) và tính chn ca nhân Fejer. Tính cht (iv) suy ra
t nhn xét sau đây:
BẤM ĐỂ XEM THÊM
Thông tin tài liệu
Ngày đăng: 2012-09-24 22:33:49
Trong giáo trình giải tích các hàm số một biến, chúng ta đã được làm quen với khái niệm chuỗi Fourier của hàm khả tích và xem xét sơ bộ tính hội tụ của nó. Đây là một lĩnh vực quan trọng của toán học và có nhiều ứng dụng thiết thực trong: Vật lý, Cơ học, Kỹ thuật, Công nghệ,... cho nên đã được quan tâm nghiên cứu rất nhiều. Các kết quả về lĩnh vực này vô cùng phong phú, đa dạng, và những gì chúng ta đã biết trong giáo trình giải tích nói trên mới chỉ là những kiến thức ban đầu. Chương 8 Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 8.1. Chuỗi Fourier .................................................................................................................275 8.1.1. Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier ....................................................... 276 8.1.2. Tính đầy đủ của các hệ đa thức ..................................................................................... 279 8.1.3. Tính chất của các hệ số Fourier..................................................................................... 282 8.1.4. Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier .................................................... 284 8.1.5. Dạng phức của chuỗi Fourier ........................................................................................ 288 8.1.6. Thí dụ............................................................................................................................ 289 8.2. Tích phân Fourier .........................................................................................................290 8.2.1. Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier ...................................................................... 290 8.2.2. Dạng khác của công thức Fourier ................................................................................. 293 8.3. Biến đổi Fourier ............................................................................................................ 295 8.3.1. Định nghĩa ..................................................................................................................... 295 8.3.2. Các tính chất của biến đổi Fourier ................................................................................ 296 8.3.3. Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier................................... 297 8.3.4. Tích chập và biến đổi Fourier ....................................................................................... 299 8.4. Một số ví dụ về ứng dụng ........................................................................................ 301 8.4.1. Bộ lọc điện .................................................................................................................... 301 8.4.2. Sự truyền nhiệt trong thanh kim loại ............................................................................. 302 8.1. Chuỗi Fourier Trong giáo trình giải tích các hàm số một biến, chúng ta đã được làm quen với khái niệm chuỗi Fourier của hàm khả tích và xem xét sơ bộ tính hội tụ của nó. Đây là một lĩnh vực quan trọng của toán học và có nhiều ứng dụng thiết thực trong: Vật lý, Cơ học, Kỹ thuật, Công nghệ,... cho nên đã được quan tâm nghiên cứu rất nhiều. Các kết quả về lĩnh vực này vô cùng phong phú, đa dạng, và những gì chúng ta đã biết trong giáo trình giải tích nói trên mới chỉ là những kiến thức ban đầu. 276 Giải tích các hàm nhiều biến Toàn bộ chương này chúng ta dành để tiếp tục công việc tìm hiểu lĩnh vực thú vị đó. 8.1.1. Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier Trước hết ta nhắc lại rằng chuỗi Fourier của một hàm f khả tích tuần hoàn trên đoạn [,]ππ − là chuỗi lượng giác 0 1[cos sin ] 2nn na anxbnx∞ = ++∑ , trong đó các hệ số được tính bởi các công thức sau đây 1 ( ) cos , 0,1, 2, 3,...nafxnxdxn π π π− ==∫ 1 ( ) sin , 1, 2, 3,...nbfxnxdxn π π π− ==∫ . Tổng riêng của chuỗi này là 0 1() [ cos sin ] 2 n nkk ka Sx a kx b kx = =+ + =∑ 1 1 [1 2 (cos cos sin .sin )] ( ) 2n k kt kx kt kx f t dt π π π= − =+ +∑ ∫ = 1 1 [1 2 c o s ( ) ] ( ) 2n k kt x f tdt π π π= − =+−∑ ∫. Để ý rằng 1 sin[(2 1) / 2] 12 cos sin( / 2)n knu ku u = + +=∑ khi 2umπ≠, m]∈, ta suy ra 1 () ( ) () 2nnSx Dt xftdt π π π− =−∫ , trong đó () () 21 sin 2 () sin 2 n n u Du u + =, có tên gọi là nhân Dirichlet, còn tích phân ở vế phải của biểu thức trên có tên gọi là tích phân Dirichlet. Dễ thấy rằng nhân Dirichlet là một hàm chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2 π v 0 1 () 1nDudu π π=∫. Thiết lập các trung bình cộng của các tổng riêng và của các nhân Dirichlet Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 277 01() () ... () 1n nSx Sx Sx n σ+++ = + , 01() () ... () () 1n nDxDx Dx x n Φ+++ = +, và gọi ()nxΦ là nhân Fejer, còn ( )nxσ là tổng Fejer, và từ các công thức tích phân Dirichlet ta có 1 () () ( ) 2nnxufx udu π π σΦ π − =+∫. Bổ đề. Nhân Fejer ()nxΦ có những tính chất sau đây: (i) Nhân Fejer ()nxΦ là chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π; (ii) () 0,nxx Φ≥∀ ; (iii) 1 () 1 2nxdx π π Φ π − =∫; (iv) Với mỗi (0, ) δπ∈ ta có ||lim max ( ) 0n n xxδπΦ→∞ ≤≤= . Chứng minh. Từ định nghĩa ta có 00 1 (1)() () sin[(21)/2] sin( / 2)nn nk kk nxDx kx xΦ == += = +=∑∑ 22 0011 2 sin[(2 1) / 2]sin( / 2) [cos cos( 1) ] 2sin ( / 2) 2sin ( / 2)nn kk kx x kx kx xx == =+=−+∑∑ 2 221cos( 1) 2.sin[( 1)/2] 2sin ( / 2) 2sin ( / 2)nx nx xx −++ == . Từ đây suy ra 2 2sin [( 1) / 2] () (1)sin(/2)nnx x nx Φ+ = + . Đẳng thức trên đúng với mọi x khác 0. Nhưng do vế phải là hàm liên tục và vế trái có giới hạn là n+1 khi x tiến tới 0, cho nên ta suy ra (0) 1 nn Φ=+. Từ công thức trên ta suy ra các tính chất (i)-(ii). Tính chất (iii) có ngay từ công thức tích phân nhân Dirichlet (bằng 1 với mọi n) và tính chẵn của nhân Fejer. Tính chất (iv) suy ra từ nhận xét sau đây: 278 Giải tích các hàm nhiều biến 2 22 || ||sin [( 1) / 2] 11 max ( ) max 1 sin( /2) ( 1)sin( /2)n xxnx x n xn δπ δπΦ δ≤≤ ≤≤ + =≤ + +. Bổ đề đã được chứng minh xong. Định lý. (Fejer) Nếu hàm số f là liên tục trên đoạn [,]ππ − và () ()ff ππ −= thì tổng Fejer () nxσ hội tụ đều tới hàm f trên đoạn đó khin→∞. Chứng minh. Do các điều kiện của định lý, ta có thể thác triển hàm f thành một hàm liên tục, tuần hoàn trên toàn bộ trục số (với chu kỳ 2 π). Từ bổ đề trên ta suy ra 11 |() ()| (). () ()( ) 22nnnfx x f x udu u f x udu ππ ππ σΦΦ ππ −− −=−+=∫∫ 11 ()[ () ( )] ()| () ( )| 22nnufxfxudu ufxfxudu ππ ππ ΦΦ ππ −− =−+≤−+∫∫. Do hàm f là liên tục và tuần hoàn cho nên nó ...
— Xem thêm —
Bình luận