Nhúng
Toàn màn hình
/ 29
Sao chép
Đang tải
Tải xuống tài liệu (29 trang)
Thông tin tài liệu
Ngày đăng: 2012-09-24 22:33:49
1 Chương 8 Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 8.1. Chuỗi Fourier .................................................................................................................275 8.1.1. Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier ....................................................... 276 8.1.2. Tính đầy đủ của các hệ đa thức ..................................................................................... 279 8.1.3. Tính chất của các hệ số Fourier..................................................................................... 282 8.1.4. Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier .................................................... 284 8.1.5. Dạng phức của chuỗi Fourier ........................................................................................ 288 8.1.6. Thí dụ............................................................................................................................ 289 8.2. Tích phân Fourier .........................................................................................................290 8.2.1. Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier ...................................................................... 290 8.2.2. Dạng khác của công thức Fourier ................................................................................. 293 8.3. Biến đổi Fourier ............................................................................................................ 295 8.3.1. Định nghĩa ..................................................................................................................... 295 8.3.2. Các tính chất của biến đổi Fourier ................................................................................ 296 8.3.3. Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier................................... 297 8.3.4. Tích chập và biến đổi Fourier ....................................................................................... 299 8.4. Một số ví dụ về ứng dụng ........................................................................................ 301 8.4.1. Bộ lọc điện .................................................................................................................... 301 8.4.2. Sự truyền nhiệt trong thanh kim loại ............................................................................. 302 8.1. Chuỗi Fourier Trong giáo trình giải tích các hàm số một biến, chúng ta đã được làm quen với khái niệm chuỗi Fourier của hàm khả tích và xem xét sơ bộ tính hội tụ của nó. Đây là một lĩnh vực quan trọng của toán học và có nhiều ứng dụng thiết thực trong: Vật lý, Cơ học, Kỹ thuật, Công nghệ,... cho nên đã được quan tâm nghiên cứu rất nhiều. Các kết quả về lĩnh vực này vô cùng phong phú, đa dạng, và những gì chúng ta đã biết trong giáo trình giải tích nói trên mới chỉ là những kiến thức ban đầu. 276 Giải tích các hàm nhiều biến Toàn bộ chương này chúng ta dành để tiếp tục công việc tìm hiểu lĩnh vực thú vị đó. 8.1.1. Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier Trước hết ta nhắc lại rằng chuỗi Fourier của một hàm f khả tích tuần hoàn trên đoạn [,]ππ − là chuỗi lượng giác 0 1[cos sin ] 2nn na anxbnx∞ = ++∑ , trong đó các hệ số được tính bởi các công thức sau đây 1 ( ) cos , 0,1, 2, 3,...nafxnxdxn π π π− ==∫ 1 ( ) sin , 1, 2, 3,...nbfxnxdxn π π π− ==∫ . Tổng riêng của chuỗi này là 0 1() [ cos sin ] 2 n nkk ka Sx a kx b kx = =+ + =∑ 1 1 [1 2 (cos cos sin .sin )] ( ) 2n k kt kx kt kx f t dt π π π= − =+ +∑ ∫ = 1 1 [1 2 c o s ( ) ] ( ) 2n k kt x f tdt π π π= − =+−∑ ∫. Để ý rằng 1 sin[(2 1) / 2] 12 cos sin( / 2)n knu ku u = + +=∑ khi 2umπ≠, m]∈, ta suy ra 1 () ( ) () 2nnSx Dt xftdt π π π− =−∫ , trong đó () () 21 sin 2 () sin 2 n n u Du u + =, có tên gọi là nhân Dirichlet, còn tích phân ở vế phải của biểu thức trên có tên gọi là tích phân Dirichlet. Dễ thấy rằng nhân Dirichlet là một hàm chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2 π v 0 1 () 1nDudu π π=∫. Thiết lập các trung bình cộng của các tổng riêng và của các nhân Dirichlet Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 277 01() () ... () 1n nSx Sx Sx n σ+++ = + , 01() () ... () () 1n nDxDx Dx x n Φ+++ = +, và gọi ()nxΦ là nhân Fejer, còn ( )nxσ là tổng Fejer, và từ các công thức tích phân Dirichlet ta có 1 () () ( ) 2nnxufx udu π π σΦ π − =+∫. Bổ đề. Nhân Fejer ()nxΦ có những tính chất sau đây: (i) Nhân Fejer ()nxΦ là chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π; (ii) () 0,nxx Φ≥∀ ; (iii) 1 () 1 2nxdx π π Φ π − =∫; (iv) Với mỗi (0, ) δπ∈ ta có ||lim max ( ) 0n n xxδπΦ→∞ ≤≤= . Chứng minh. Từ định nghĩa ta có 00 1 (1)() () sin[(21)/2] sin( / 2)nn nk kk nxDx kx xΦ == += = +=∑∑ 22 0011 2 sin[(2 1) / 2]sin( / 2) [cos cos( 1) ] 2sin ( / 2) 2sin ( / 2)nn kk kx x kx kx xx == =+=−+∑∑ 2 221cos( 1) 2.sin[( 1)/2] 2sin ( / 2) 2sin ( / 2)nx nx xx −++ == . Từ đây suy ra 2 2sin [( 1) / 2] () (1)sin(/2)nnx x nx Φ+ = + . Đẳng thức trên đúng với mọi x khác 0. Nhưng do vế phải là hàm liên tục và vế trái có giới hạn là n+1 khi x tiến tới 0, cho nên ta suy ra (0) 1 nn Φ=+. Từ công thức trên ta suy ra các tính chất (i)-(ii). Tính chất (iii) có ngay từ công thức tích phân nhân Dirichlet (bằng 1 với mọi n) và tính chẵn của nhân Fejer. Tính chất (iv) suy ra từ nhận xét sau đây: 278 Giải tích các hàm nhiều biến 2 22 || ||sin [( 1) / 2] 11 max ( ) max 1 sin( /2) ( 1)sin( /2)n xxnx x n xn δπ δπΦ δ≤≤ ≤≤ + =≤ + +. Bổ đề đã được chứng minh xong. Định lý. (Fejer) Nếu hàm số f là liên tục trên đoạn [,]ππ − và () ()ff ππ −= thì tổng Fejer () nxσ hội tụ đều tới hàm f trên đoạn đó khin→∞. Chứng minh. Do các điều kiện của định lý, ta có thể thác triển hàm f thành một hàm liên tục, tuần hoàn trên toàn bộ trục số (với chu kỳ 2 π). Từ bổ đề trên ta suy ra 11 |() ()| (). () ()( ) 22nnnfx x f x udu u f x udu ππ ππ σΦΦ ππ −− −=−+=∫∫ 11 ()[ () ( )] ()| () ( )| 22nnufxfxudu ufxfxudu ππ ππ ΦΦ ππ −− =−+≤−+∫∫. Do hàm f là liên tục và tuần hoàn cho nên nó liên tục đều trên toàn trục số. Suy ra, với mỗi số 0ε cho trước, tồn tại số 0 δ sao cho ||(; ): max| ( ) ( )| /3−≤=−≤xyffxfyδϖδ ε. Từ công thức trên, bằng cách tách tích phân vế phải thành 3 tích phân trên 3 đoạn, ta có 111 |() ()| 222nfx x δδπ πδδ σ πππ − −− −≤++∫∫∫. Đối với tích phân ở giữa ta có đánh giá 11 ()| () ( )| (; ) () 22nnu f x f x u du f u du δδ δδ ΦϖδΦ ππ −− −+≤≤∫∫ 1 (; ) ( ) . 23nfudu π πεϖδ Φ π − ≤, tồn tại đa thức lượng giác () Tx sao cho |() ()| , [ ,]fx Tx x εππ −, tồn ...
— Xem thêm —
Bình luận